Question

【题目】在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上．

（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，

①若α＝90°，AB＝AC，过C作CF⊥AD于点F，求的值；

②若BD＝3CD，求的值；

（2）AD为△ABC的角平分线，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接写出BE的长度．

Answer 1

【答案】（1）①2；②；（2）

【解析】

（1）①由题意先判定△ABC与△CEF都是等腰直角三角形，再判定△ABE≌△CAF（AAS），则可由全等三角形的性质及中线的定义可得答案；②过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，在AD上取一点G，使得CG＝CF，由两组角对应相等判定△ABE∽△CAG，再由CF∥BE判定△BED∽△CFD，由相似三角形的性质得两个比例等式，设CF＝x，BE＝3x，AE＝y，则CG＝EG＝x，代入比例式化简计算可得答案．

（2）过点C作CF∥AD，交BA的延长线于F，延长BE交CF与G，利用等腰三角形的判定与性质进行推理，结合tan∠BED＝2，得出AG的长；利用勾股数得出FG与CG的长；由DE∥CG得出比例式，计算可求得BE的长．

解：（1）①∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，

∴当α＝90°，AB＝AC时，△ABC与△CEF都是等腰直角三角形，

∴∠BAE+∠FAC＝90°，∠ACF+∠FAC＝90°，

∴∠BAE＝∠AFC，

∴在△ABE与△CAF中，

∴△ABE≌△CAF（AAS），

∴AE＝CF＝EF，

∴BE＝AF＝2EF＝2CF，

∴＝2；

②如图，过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，在AD上取一点G，使得CG＝CF，

∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，

∴∠ABE＝∠CAG，∠F＝∠BED＝α＝∠CGF，

∴∠AEB＝∠AGC，

∴△ABE∽△CAG，

∴=．

∵CF∥BE，

∴△BED∽△CFD，

∴==3.

设CF＝x，BE＝3x，AE＝y，则CG＝EG＝x，

∴=.

解得：＝，

∴＝；

（2）如图，过点C作CF∥AD，交BA的延长线于F，延长BE交CF与G，

则∠BAD＝∠F，∠DAC＝∠ACF，

又∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAD＝∠DAC，

∴∠ACF＝∠F，

∴AF＝AC＝5，

又AE＝ED，

∴FG＝CG，

∴AG⊥CF，

∴∠CAG＝∠FAG，

∴AD⊥AG，

∵tan∠BED＝2，

∴tan∠AEG＝2，

∵AE＝ED＝2，

∴＝2，

∴AG＝2AE＝4，

又∵AC＝5，

∴FG＝CG＝3，

∵DE∥CG，

∴=,

∴=,

解得BE＝4．