【题目】如图,点是以为直径的上一点,过点作的切线交延长线于点,取中点,连接并延长交延长线于点.
(1)试判断与的位置关系,并说明理由;
(2)若,,求.
【答案】(1)相切,理由见解析;(2)
【解析】
(1) 连接CD、EO,证明≌(SAS),得到,再根据DA是的切线,得到,即可证明;
(2)设设的半径为r,根据勾股定理得到,再利用勾股定理求解AE的长度,利用计算即可得到答案;
解:(1) 与相切,理由如下:
如图,连接CD、EO,
∵E为AD的中点,圆心O为直径AB的中点,
∴EO是的中位线,
∴EO∥DB,
∴(两直线平行,同位角相等),
(两直线平行,内错角相等),
∴(等量替换),
在和中:
,
∴≌(SAS),
∴(全等三角形对应角相等),
又∵DA是的切线,
∴,
∴,
∴与相切;
(2)设的半径为r,
∵,
∴,
∴ ,
即:,
解得: ,
∴AF=8+5+5=18,
设EA的长度为y,
由(1)知EA=EC=y(全等三角形对应边相等),
根据勾股得到: ,
∴,
解得: ,
又∵EO∥DB,
∴ ,
∴ ;
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【题目】某校用随机抽样的方法在九年级开展了“你是否喜欢网课”的调查,并将得到的数据整理成了以下统计图(不完整).
(1)此次共调查了 名学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若该学校九年级共有300名学生,请你估计其中“非常喜欢”网课的人数.
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【题目】定义:在三角形中,若有两条中线互相垂直,则称该三角形为中垂三角形.
(1)如图(1),△ABC是中垂三角形,BD,AE分别是AC,BC边上的中线,且BD⊥AE于点O,若∠BAE=45°,求证:△ABC是等腰三角形.
(2)如图(2),在中垂三角形ABC中,AE,BD分别是边BC,AC上的中线,且AE⊥BD于点O,猜想AB2,BC2,AC2之间的数量关系,并加以证明.
(3)如图(3),四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,点M,N分别是OA,OD的中点,连接BM,CN并延长,交于点E.
①求证:△BCE是中垂三角形;
②若,请直接写出BE2+CE2的值.
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【题目】已知二次函数y=﹣x2+(m﹣2)x+3(m+1)与x轴交于AB两点(A在B左侧),与y轴正半轴交于点C.
(1)当m≠﹣4时,说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;
(2)若OAOB=6,求点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上找一点P,使S△PAC的面积为15,求P点的坐标.
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【题目】如图,二次函数的图象过点,对称轴为直线.有以下结论:
①;
②;
③若(,),(,)是抛物线上的两点,当时,;
④点,是抛物线与轴的两个交点,若在轴下方的抛物线上存在一点,使得⊥,则的取值范围为;
⑤若方程的两根为,,且<,则﹣2≤<<4.
其中正确结论的序号是( )
A.①②④B.①③④
C.①③⑤D.①②③⑤
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【题目】如图,AB是的直径,D是的中点,于E,交CB于点过点D作BC的平行线DM,连接AC并延长与DM相交于点G.
求证:GD是的切线;
求证:;
若,,求的值.
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【题目】在△ABC中,点D在边BC上,点E在线段AD上.
(1)若∠BAC=∠BED=2∠CED=α,
①若α=90°,AB=AC,过C作CF⊥AD于点F,求的值;
②若BD=3CD,求的值;
(2)AD为△ABC的角平分线,AE=ED=2,AC=5,tan∠BED=2,直接写出BE的长度.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,A,B,C均为格点.
(1)的面积等于;
(2)请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中画出的角平分线BD,并在AB边上画出点P,使得,并简要说明的角平分线BD及点P的位置是如何找到的(不要求证明)
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