【题目】已知,如图,在边长为10的菱形ABCD中,cos∠B=,点E为BC边上的中点,点F为边AB边上一点,连接EF,过点B作EF的对称点B′,
(1)在图(1)中,用无刻度的直尺和圆规作出点B′(不写作法,保留痕迹);
(2)当△EFB′为等腰三角形时,求折痕EF的长度.
(3)当B′落在AD边的中垂线上时,求BF的长度.
【答案】(1)尺规作图见解析;(2)EF=5或或;(3).
【解析】
试题(1)分别以F、E为圆心,FB、EB为半径画弧,两弧交于点B,B即为所求;
(2)分情况①当BE=EF时,②BE=BF时,③EF=BF时讨论即可;
(3)连接BB,FE,可知BB⊥FE,依据翻折及勾股定理即可解得.
试题解析:(1)尺规作图:
(2)由翻折知:△FBE≌△FBE,
∴BE=BE,BF=BF,
∵点E为BC边上的中点,
∴BE=BE=5,
① 当BE=EF时,EF=5,
②当BE=BF时,过点F作FG⊥BE于点G,
在Rt△FBG中,BE=BF=5,cos∠B=,
∴BG=,GE=BE-BG=,
FG=,
在Rt△FEG中,FE=;
③当EF=BF时,
过点F作FH⊥BE于点H,BH=BE=,
在Rt△FBH中, cos∠B=,
∴BF=BH×=,
∴EF=,
综上:EF=5或或.
(3)
如图:连接BB,FE,交点 为H,
则BB⊥FE,
∵AN=DN=BE=CE=5,
EM=3,BE=BE=5,
∴BM=4,MN=,B B=,
BH=,
∴BF=BF=.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与⊙O相交于E,F两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)证明:;
(3)若BC=8,tan∠AFP=,求DE的长.
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【题目】某校用随机抽样的方法在九年级开展了“你是否喜欢网课”的调查,并将得到的数据整理成了以下统计图(不完整).
(1)此次共调查了 名学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若该学校九年级共有300名学生,请你估计其中“非常喜欢”网课的人数.
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【题目】在信息快速发展的社会,“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分.某高校组织课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭,调查每月用于信息消费的金额,根据数据整理成如图所示的不完整统计表和统计图.已知A,B两组户数频数直方图的高度比为1:5.
月信息消费额分组统计表
组别 | 消费额(元) |
A | 10≤x<100 |
B | 100≤x<200 |
C | 20≤x<300 |
D | 300≤x<400 |
E | x≥400 |
请结合图表中相关数据解答下列问题:
(1)这次接受调查的有 户;
(2)在扇形统计图中,“E”所对应的圆心角的度数是 ;
(3)请你补全频数直方图;
(4)若该社区有2000户住户,请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少?
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【题目】为弘扬中华传统文化。某校开展双刚进课常”的活动。该校随机抽取部分学生,按四个类别:表示“很喜欢" 表示“喜欢”,表示"一般”,表示"不喜欢”.调查他们对汉剧的喜爱情况将结果绘制成如下两幅不完整的统计图,根据图中提供的信息,解决下列问题:
扇形统计图中.类所对应的扇形圆心角的大小为 度;
请通过计算补全条形统计图:
该校共有名学生.估计该校表示“很喜欢”的类的学生有多少人?
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【题目】定义:在三角形中,若有两条中线互相垂直,则称该三角形为中垂三角形.
(1)如图(1),△ABC是中垂三角形,BD,AE分别是AC,BC边上的中线,且BD⊥AE于点O,若∠BAE=45°,求证:△ABC是等腰三角形.
(2)如图(2),在中垂三角形ABC中,AE,BD分别是边BC,AC上的中线,且AE⊥BD于点O,猜想AB2,BC2,AC2之间的数量关系,并加以证明.
(3)如图(3),四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,点M,N分别是OA,OD的中点,连接BM,CN并延长,交于点E.
①求证:△BCE是中垂三角形;
②若,请直接写出BE2+CE2的值.
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【题目】在△ABC中,点D在边BC上,点E在线段AD上.
(1)若∠BAC=∠BED=2∠CED=α,
①若α=90°,AB=AC,过C作CF⊥AD于点F,求的值;
②若BD=3CD,求的值;
(2)AD为△ABC的角平分线,AE=ED=2,AC=5,tan∠BED=2,直接写出BE的长度.
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