【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与⊙O相交于E,F两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)证明:;
(3)若BC=8,tan∠AFP=,求DE的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)DE=.
【解析】
(1)先判断出PA=PC,得出∠PAC=∠PCA,再判断出∠ACB=90°,得出∠CAB+∠CBA=90°,再判断出∠PCA+∠CAB=90°,得出∠CAB+∠PAC=90°,即可得出结论;
(2)先判断出Rt△AOD∽Rt△POA,得出OA2=OPOD,进而得出
,,即可得出结论;
(3)在Rt△ADF中,设AD=a,得出DF=3a.,AO=OF=3a-4,最后用勾股定理得出OD2+AD2=AO2,即可得出结论.
(1)证明∵D是弦AC中点,∴OD⊥AC,∴PD是AC的中垂线,∴PA=PC,∴∠PAC=∠PCA.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.
又∵∠PCA=∠ABC,∴∠PCA+∠CAB=90°,∴∠CAB+∠PAC=90°,即AB⊥PA,∴PA是⊙O的切线;
(2)证明:由(1)知∠ODA=∠OAP=90°,
∴Rt△AOD∽Rt△POA,∴,∴.
又,∴,即.
(3)解:在Rt△ADF中,设AD=a,则DF=3a.,AO=OF=3a-4.
∵,即,解得,∴DE=OE-OD=3a-8=.
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【题目】如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.
(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则的值为 ;
(2)在(1)的基础上,现将三角板绕点P逆时针旋转(0°<<60°)角,如图2,求的值;
(3)若与(2)相比只有如下变化,点P在线段AC上,且AP:PC=1:2,旋转角度,满足60°<<90°时,即如图3示,的值是否变化?证明你的结论.
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【题目】最近,受气温变暖趋势及频繁的大风影响,全球正在进人新一轮的森林火灾高发期,3月30日西昌泸山森林突发火灾,火势迅速向四周蔓延.直接威胁马道街道办事处和西昌城区安全有关部门紧急部署,疏散附近居民.并且组织了一批救灾帐篷和食品以备居民使用.已知帐篷和食品共680件,且帐篷比食品多200件.
(1)求帐篷和食品各多少件.
(2)现计划租用A,B两种货车共16辆,一次性将物资送往灾区,已知A种货车可装帐篷40件和食品10件,B种货车可装帐篷20件和食品20件,请设计一下,共有几种租车方案?
(3)在(2)的条件下,A种货车每辆需运费800元,B种货车每辆需运费720元,怎样租车才能使总运费最少?最少运费是多少元?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数的图象上,边CD在x轴上,点B在y轴上.已知.
(1)点A是否在该反比例函数的图象上?请说明理由.
(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q,求点Q的横坐标.
(3)平移正六边形ABCDEF,使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上,试描述平移过程.
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【题目】如图,在直角坐标系中,四边形OACB为菱形,OB在x轴的正半轴上,∠AOB=60°,过点A的反比例函数y= 的图像与BC交于点F,则△AOF的面积为 ______________.
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【题目】△ABC为等边三角形,点O为AB边上一点,且BO=2AO=4,将△ABC绕点O逆时针旋转60°得△DEF,则图中阴影部分的面积为______.
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【题目】如图,△ABC为⊙O的内接三角形,BC为⊙O的直径,在线段OC上取点D(不与端点重合),作DG⊥BC,分别交AC、圆周于E、F,连接AG,已知AG=EG.
(1)求证:AG为⊙O的切线;
(2)已知AG=2,填空:
①当四边形ABOF是菱形时,∠AEG= °;
②若OC=2DC,△AGE为等腰直角三角形,则AB= .
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【题目】已知,如图,在边长为10的菱形ABCD中,cos∠B=,点E为BC边上的中点,点F为边AB边上一点,连接EF,过点B作EF的对称点B′,
(1)在图(1)中,用无刻度的直尺和圆规作出点B′(不写作法,保留痕迹);
(2)当△EFB′为等腰三角形时,求折痕EF的长度.
(3)当B′落在AD边的中垂线上时,求BF的长度.
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