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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,DAC中点,直线OD与⊙O相交于EF两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接PAPCAF,且满足∠PCA=ABC

1)求证:PA是⊙O的切线;

2)证明:

3)若BC=8tanAFP=,求DE的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3DE=

【解析】

(1)先判断出PA=PC,得出∠PAC=∠PCA,再判断出∠ACB=90°,得出∠CAB+∠CBA=90°,再判断出∠PCA+∠CAB=90°,得出∠CAB+∠PAC=90°,即可得出结论;
(2)先判断出Rt△AOD∽Rt△POA,得出OA2=OPOD,进而得出

,即可得出结论;
(3)在Rt△ADF中,设AD=a,得出DF=3a.AO=OF=3a-4,最后用勾股定理得出OD2+AD2=AO2,即可得出结论.

1)证明∵D是弦AC中点,∴ODAC,∴PDAC的中垂线,∴PA=PC,∴∠PAC=∠PCA

AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°

又∵∠PCA=∠ABC,∴∠PCA+∠CAB=90°,∴∠CAB+∠PAC=90°,即ABPA,∴PA是⊙O的切线;

2)证明:由(1)知∠ODA=∠OAP=90°

∴Rt△AOD∽Rt△POA,∴,∴

,∴,即

3)解:在Rt△ADF中,设AD=a,则DF=3aAO=OF=3a-4

,即,解得,∴DE=OE-OD=3a-8=

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3)若与(2)相比只有如下变化,点P在线段AC上,且AP:PC=1:2,旋转角度,满足60°<90°时,即如图3示,的值是否变化?证明你的结论.

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3)在(2)的条件下,A种货车每辆需运费800元,B种货车每辆需运费720元,怎样租车才能使总运费最少?最少运费是多少元?

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1)求证:AG⊙O的切线;

2)已知AG2,填空:

当四边形ABOF是菱形时,∠AEG   °;

OC2DC,△AGE为等腰直角三角形,则AB   

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1)在图(1)中,用无刻度的直尺和圆规作出点B′(不写作法,保留痕迹);

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