Question

【题目】如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN，则下列结论：①PM＝PN；②；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC．其中正确的是（　　）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；如果△PMN为等边三角形，求得∠MPN＝60°，推出△CPM是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，而△ABC不一定是等边三角形，故③错误；当∠ABC＝45°时，∠BCN＝45°，由P为BC边的中点，得出BN＝PB＝PC，判断④正确．

解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，

∴PM＝BC，PN＝BC，

∴PM＝PN，正确；

②在△ABM与△ACN中，

∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，

∴△ABM∽△ACN，

∴，

∴，②正确；

③∵∠ABC＝60°，

∴∠BPN＝60°，

如果△PMN为等边三角形，

∴∠MPN＝60°，

∴∠CPM＝60°，

∴△CPM是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

则△ABC是等边三角形，

而△ABC不一定是等边三角形，故③错误；

④当∠ABC＝45°时，∵CN⊥AB于点N，

∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，

∴BN＝CN，

∵P为BC边的中点，

∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形

∴BN＝PB＝PC，故④正确．

故选：B．