[题目]如图.四边形中....将绕着点顺时针旋转得 .连接 .．(1)求证:≌,(2)求证:,(3)若.点在四边形内部运动.且满足.求点运动路径的长度．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，四边形中，，，，将绕着点顺时针旋转得，连接，．

（1）求证：≌；

（2）求证：；

（3）若，点在四边形内部运动，且满足，求点运动路径的长度．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）根据等式的基本性质可得，然后利用SAS即可证出≌；

（2）根据四边形的内角和和全等三角形的性质可得，从而求出∠CBE=90°，根据勾股定理可得，根据等边三角形的判定及性质可得，从而证出结论；

（3）如图，设为满足条件的点，将绕着点顺时针旋转60度得，连接，，

，，， DB，先利用SAS证出≌，从而得出，∠AQD=∠AFB，然后证出为等边三角形，△ADB为等边三角形，从而得出， DB=AB=2，然后根据勾股定理的逆定理可得，根据四点共圆证出点的路径为过、、三点的圆上，求出圆心角和半径即可求出点运动路径的长度．

证明：（1）∵

∴

在和中

∴≌

（2）在四边形中

∵≌

∴，

∴

又∵，

∴△AEC为等边三角形

∴

（3）如图，设为满足条件的点，将绕着点顺时针旋转60度得，连接，，

，，， DB．

∵

∴

在和中

∴≌

∴，∠AQD=∠AFB，

∵，AQ=AF，∠DAB=60°，AD=AB

∴为等边三角形，△ADB为等边三角形

∴， DB=AB=2

∵

∴

∵∠BCD=30°

∴∠DQB＋∠BCD=180°

∴点的路径为过、、三点的圆上

设圆心为，连接OD、OB

则，

∴△OBD为等边三角形

∴，

∴点的运动的路径长为：．

练习册系列答案

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①当x=1.7时，[x]+(x)+[x)=6；

②当x=-2.1时，[x]+(x)+[x)=-7；

③方程4[x]+3(x)+[x)=11的解为1<x<1.5；

④当-1<x<1时, 函数y=[x]+(x)+x 的图像y=4x 的图像有两个交点.

【答案】②③

【解析】分析：（1）根据题目中给的计算方法代入计算后判定即可；（2）根据题目中给的计算方法代入计算后判定即可；（3）根据题目中给的计算方法代入计算后判定即可；（4）结合x的取值范围，分类讨论，利用题目中给出的方法计算后判定即可.

详解：

①当x=1.7时，

[x]+（x）+[x）

=[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+2+2=5，故①错误；

②当x=﹣2.1时，

[x]+（x）+[x）

=[﹣2.1]+（﹣2.1）+[﹣2.1）

=（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）=﹣7，故②正确；

③当1＜x＜1.5时，

4[x]+3（x）+[x）

=4×1+3×2+1

=4+6+1

=11，故③正确；

④∵﹣1＜x＜1时，

∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，

当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，

当x=0时，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，

当0＜x＜0.5时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，

当0.5＜x＜1时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，

∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x=；x+1=4x时，得x=；当x=0时，y=4x=0，

∴当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故④错误，

故答案为：②③．

点睛：本题是阅读理解题，前三问比较容易判定，根据题目所给的方法判定即可；第四问较难，结合x的取值范围分情况讨论即可.

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【结束】
19

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