Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠ACM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？丙给出证明．

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=$\frac{1}{2}$BC，由已知可得，DC=$\frac{1}{2}$BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形．
证明：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE是矩形，
∴矩形ADCE是正方形．

点评 本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．