Question

已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，E为OD延长线上一点，EF∥AD交CA的延长线于点F．
（1）求证：AF=DE；
（2）如图2，将图1中的△EOF绕点O逆时针旋转角α得到△E₁OF₁．
①探究AF₁与DE₁的数量关系，并给予证明；
②若当α=30°时，E₁F₁恰好经过点A，则

S△OE1F1

S正ABCD

=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）应用平行线平分线段定理可求得

OA

OF

=

OD

OE

，根据OA=OD可求得AF=DE；
（2）①由△EOF绕点O逆时针旋转角α可知OA=OD，OE₁=OF₁，∠AOF_1=∠DOE_{1求得三角形全等，从而求得}AF₁=AE₁．
②依据三角形的面积等于两个分割的三角形面积的和，求得

a

b

=

1+ 3

2

，再根据三角形相似△E₁OF₁∽△AOD面积的比等于相似比的平方，从而求得．

解答：（1）证明：∵EF∥AD
∴

OA

OF

=

OD

OE

∵OA=OD，
∴OF=OE，
∴OF-OA=OE-OD，
∴AF=AE．

（2）①AF₁=DE₁
证明：∵OF=OE，
∴OF₁=OE₁，
在△AOF₁与△DOE₁中

OA=OD ∠AOF1=∠DOE1 OF1=OE1

∴△AOF₁≌△DOE₁（SAS），
∴AF₁=DE₁，
②设OE₁=OF₁=a，OA=OD=b
∴S △AOF1=

1

2

×sih30°ba=

1

4

ab，
S △AOE1=

1

2

×sin60°ba=

3

4

ab．
∴S △E1OF1=S △AOF1+S △AOE1=（

1+ 3

4

）ab
∵S △E1OF1=

1

2

a²
∴（

1+ 3

4

）ab=

1

2

a²
解得

a

b

=

1+ 3

2

∵△E₁OF_1与△AOD都是等腰直角三角形；
∴△E₁OF₁∽△AOD
∴

S△E1OF1

S△AOD

=（

a

b

）²=（

1+ 3

2

）²=

2+ 3

2

∴

S△OE1F1

S正ABCD

=

S△OE1F1

4S△AOD

=

1

4

×（

2+ 3

2

）=

2+ 3

8

．

点评：本题考查平行线的性质，全等三角形的判定以及相似三角形的判定和性质，以及图形分割的问题．