Question

7．抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，过点A的直线交抛物线于点C（2，m），交y轴于点D．
（1）求抛物线及直线AC的解析式；
（2）点P是线段AC上的一动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（3）点M（m，-3）是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点F，使△CMF是等腰直角三角形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．
（2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x，用x分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值．
（3）根据点F的不同位置分类讨论．

解答 解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx+c，
得b=-2，c=-3；
∴y=x²-2x-3．
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3，
得y=-3，∴C（2，-3）；
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1．
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）；
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$
∴当x=1/2时，PE的最大值=$\frac{9}{4}$．
（3）①当点F在D点时，
将直线和抛物线的解析式组成方程组：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（2，-3），
令x=0，y=x²-2x-3=-3，
∴M的坐标为（0，-3）
由直线的解析式可求点D的坐标为（0．-1）
∴MC=2，MD=3-1=2，
∵MC∥y轴，
∴∠CMD=90°，
即△CMD是等腰直角三角形，
∴当点F的坐标为（-1，0）时，△CMD是等腰直角三角形．
②当F在P点时，
当点E是顶点坐标时，可得PM=PC，
由抛物线的解析式可得对称轴为x=-1，
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴点P的坐标为（1，-2）
∴PC=MP=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又∵MC=2，
∴PC²+PM²=MC²，
由勾股定理的逆定理可得：△PMC为等腰直角三角形．
即△FMC为等腰直角三角形．
∴F点的坐标为（1，-2）．
③当F不在P、D点时，设点F（x，-x-1），
则CM=CF=$\sqrt{（x-2）^{2}+（-x-1+3）^{2}}$=2
即（x-2）²+（-x-3+3）²=4
解得：x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$，
∴F（2+$\sqrt{2}$，-3-$\sqrt{2}$ ）或F（2-$\sqrt{2}$，-3+$\sqrt{2}$ ）．
当F（2+$\sqrt{2}$，-3-$\sqrt{2}$ ）时，FM=$\sqrt{8+2\sqrt{2}}$，
∴CM²+CF²≠MF²，不能构成直角三角形，
同理：当F（2-$\sqrt{2}$，-3+$\sqrt{2}$ ）时，也不能构成直角三角形．
综上所述，存在点F为（1，-2）时．使△CMF是等腰直角三角形

点评 此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定、二次函数的应用，第（3）题应将所有的情况都考虑到，不要漏解．