Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．

Answer 1

分析 连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理证明△CEB∽△ACB，得到$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$，根据黄金分割的概念证明结论．

解答 解：点E是线段AB的黄金分割点．
证明：连接EC，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
又∵AE=BC，
∴EC=BC，
∴∠BEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B，
∴∠BEC=∠ACB，又∠B=∠B，
∴△CEB∽△ACB，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$，即BC²=BE•AB，
又∵AE=BC，
∴AE²=BE•AB，即点E是线段AB的黄金分割点．

点评 本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．