Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连结AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连结C′D交AB于点E，连结BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC=4，由翻折的性质可知：AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．设DC=ED=x，则BD=4-x．在Rt△DBE中，依据勾股定理列方程求解即可；当∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°，然后证明四边形ACDC′为正方形，从而求得DB=1，然后证明DE∥AC，△BDE∽△BCA，依据相似三角形的性质可求得DE=$\frac{3}{4}$．

解答 解：如图1所示；点E与点C′重合时．

在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4．
由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．
设DC=ED=x，则BD=4-x．
在Rt△DBE中，DE²+BE²=DB²，即x²+2²=（4-x）²．
解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴DE=$\frac{3}{2}$．
如图2所示：∠EDB=90时．

由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．
∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，
∴四边形ACDC′为矩形．
又∵AC=AC′，
∴四边形ACDC′为正方形．
∴CD=AC=3．
∴DB=BC-DC=4-3=1．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA．
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{DB}{CB}=\frac{1}{4}$，即$\frac{ED}{3}=\frac{1}{4}$．
解得：DE=$\frac{3}{4}$．
点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．
故答案为：$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、正方形的判定、相似三角形的性质和判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．