【题目】(1)观察猜想:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上,连接AD,把△ABD绕点A逆时针旋转90°,点D落在点E处,如图①所示,则线段CE和线段BD的数量关系是 ,位置关系是 .
(2)探究证明:
在(1)的条件下,若点D在线段BC的延长线上,请判断(1)中结论是还成立吗?请在图②中画出图形,并证明你的判断.
(3)拓展延伸:
如图③,∠BAC≠90°,若AB≠AC,∠ACB=45°,AC=,其他条件不变,过点D作DF⊥AD交CE于点F,请直接写出线段CF长度的最大值.
【答案】(1)CE=BD,CE⊥BD.(2)(1)中的结论仍然成立.理由见解析;(3).
【解析】分析:(1)线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,根据旋转的性质得到AD=AE,∠BAD=∠CAE,得到△BAD≌△CAE,CE=BD,∠ACE=∠B,得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,于是有CE=BD,CE⊥BD.
(2)证明的方法与(1)类似.
(3)过A作AM⊥BC于M,EN⊥AM于N,根据旋转的性质得到∠DAE=90°,AD=AE,利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM,易证得Rt△AMD≌Rt△ENA,则NE=MA,由于∠ACB=45°,则AM=MC,所以MC=NE,易得四边形MCEN为矩形,得到∠DCF=90°,由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF,得,设DC=x,MD=1-x,利用相似比可得到CF=-x2+1,再利用二次函数即可求得CF的最大值.
详解:(1)①∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,
∴BD⊥CE;
故答案为:CE=BD,CE⊥BD.
(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下:
如图,∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
∴AE=AD,∠DAE=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD,
∴△ACE≌△ABD,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=90°,即CE⊥BD,
∴线段CE,BD之间的位置关系和数量关系分别为:CE=BD,CE⊥BD.
(3)如图3,过A作AM⊥BC于M,EN⊥AM于N,
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE
∴∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠NAE=∠ADM,
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA,
∴NE=AM,
∵∠ACB=45°,
∴△AMC为等腰直角三角形,
∴AM=MC,
∴MC=NE,
∵AM⊥BC,EN⊥AM,
∴NE∥MC,
∴四边形MCEN为平行四边形,
∵∠AMC=90°,
∴四边形MCEN为矩形,
∴∠DCF=90°,
∴Rt△AMD∽Rt△DCF,
∴,
设DC=x,
∵∠ACB=45°,AC=,
∴AM=CM=1,MD=1-x,
∴,
∴CF=-x2+x=-(x-)2+
,
∴当x=时有最大值,CF最大值为
.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.点O是AC中点,延长DO到E,使OE=OD,连接AE,CE.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)若BC=6,∠DOC=60°,求四边形ADCE的面积.
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【题目】将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上直角三角板OBC和直角三角板MON,
,
,
,
,保持三角板OBC不动,将三角板MON绕点O以每秒
的速度顺时针方向旋转t秒
如图2,
______度
用含t的式子表示
;
在旋转的过程中,是否存在t的值,使
?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
直线AD的位置不变,若在三角板MON开始顺时针旋转的同时,另一个三角板OBC也绕点O以每秒
的速度顺时针旋转.
当
______秒时,
;
请直接写出在旋转过程中,
与
的数量关系
关系式中不能含
.
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【题目】如图,将一张直角三角形纸片沿斜边
上的中线
剪开,得到
,再将
沿
方向平移到
的位置,若从平移开始到点
未到达点
时,
交
于点
,
交
于点
,连结
.
(1)试探究的形状,请说明理由;
(2)当四边形为菱形时,判断
与
是否全等,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=kx+h与x轴相交于点A(﹣1,0),与y轴相交于点C,与抛物线y=﹣x2+bx+3的一交点为点D,抛物线过x轴上的AB两点,且CD=4AC.
(1)求直线l和抛物线的解析式;
(2)点E是直线l上方抛物线上的一动点,求当△ADE面积最大时,点E的坐标;
(3)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,四边形APDQ能否为矩形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为进一步推广“阳光体育”大课间活动,某中学对已开设的A实心球,B立定跳远,C跑步,D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查,随机抽取了部分学生,并将调查结果绘制成图1,图2的统计图,请结合图中的信息解答下列问题:
(1)请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比,并将两个统计图补充完整;
(2)随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生,其中有3名女生,2名男生,现从这5名学生中任意抽取2名学生,请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性别学生的概率.
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