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【题目】已知,梯形ABCD中,ADBCABC=90°,AB=3,BC=10,AD=5,MBC边上的任意一点,联结DM,联结AM

(1)若AM平分∠BMD,求BM的长;

(2)过点AAEDM,交DM所在直线于点E

①设BM=xAE=yy关于x的函数关系式;

②联结BE,当ABE是以AE为腰的等腰三角形时,请直接写出BM的长.

【答案】(1)1或9;(2)①y=194.

【解析】

(1)考虑∠DMB为锐角和钝角两种情况即可解答;

(2) ①MHADH,根据勾股定理,用被开方式含x的二次根式表示DM,根据△ADM面积的两种算法建立等式,即可求出y关于x的函数关系式;②分AB=AEEA=EB两种情况讨论求解.

解:(1)如图1中,作DHBCH.则四边形ABHD是矩形,AD=BH=5,AB=DH=3.

MA平分∠DMB时,易证∠AMB=AMD=DAM,可得DA=DM=5,

RtDMH中,DM=AD=5,DH=3,

MH===4,

BM=BH-MH=1,

AM平分∠BMD时,同法可证:DA=DM′,HM′=4,

BM′=BH+HM′=9.

综上所述,满足条件的BM的值为19.

(2)①如图2中,作MHADH

RtDMH中,DM==

SADM=ADMH=DMAE

5×3=y

y=

②如图3中,当AB=AE时,y=3,此时5×3=3

解得x=19.

如图4中,当EA=EB时,DE=EM

AEDM

DA=AM=5,

RtABM中,BM==4.

综上所述,满足条件的BM的值为194.

故答案为:(1)1或9;(2)①y=194.

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∴∠2=AGH(________)

AD//BC(________)

∴∠ADE=C(________)

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