Question

【题目】如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．

（1）将图①中的三角板OMN沿BA方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；

（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；

（3）将图①中的三角尺COD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针防线旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，MN恰好与CD平行；第几秒时，MN恰好与直线CD垂直．

Answer 1

【答案】（1） 105°；（2） 135°； （3）5或17；11或23

【解析】

（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；

（2）根据内错角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；

（3）作出图形，然后分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转角÷速度计算即可得解．

解：（1）在△CEN中，

∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO=180°-45°-30°=105°

（2）∵∠BON=∠N=30°，

∴MN∥CB，

∴∠CEN=180°-∠DCO=180°-45°=135°

（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，

∵CD∥MN，

∴∠OFD=∠M=60°，

在△ODF中，∠MOD=180°-∠D-∠OFD，

=180°-45°-60°，

=75°，

∴旋转角为75°，

t=75°÷15°=5秒；

CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，

∵CD∥MN，

∴∠DFO=∠M=60°，

在△DOF中，∠DOF=180°-∠D-∠DFO=180°-45°-60°=75°，

∴旋转角为75°+180°=255°，

t=255°÷15°=17秒；

综上所述，第5或17秒时，边CD恰好与边MN平行；

如图2，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，

∵CD⊥MN，

∴∠NGC=90°-∠MNO=90°-30°=60°，

∴∠CON=∠NGC-∠OCD=60°-45°=15°，

∴旋转角为180°-∠CON=180°-15°=165°，

t=165°÷15°=11秒，

CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，

∵CD⊥MN，

∴∠NGD=90°-∠MNO=90°-30°=60°，

∴∠AOC=∠NGD-∠C=60°-45°=15°，

∴旋转角为360°-∠AOC=360°-15°=345°，

t=345°÷15°=23秒，

综上所述，第11或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．