Question

10．已知函数y=mx²-3（m-1）x+2m-3
（1）求证：无论m取任何实数时，函数与x轴总有交点；
（2）若函数y=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，若函数是一次函数，则二次项系数为0即可；若函数是二次函数，则只要证明判别式△=b²-4ac恒大于0即可；
（2）根据二次函数的解析式对称轴为y轴可得，对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=0，即可求得m的值．

解答 （1）证明：当m=0时，原方程可化为3x-3=0，解得x=1；
当m≠0时，
∵△=[-3（m-1）]²-4×m×（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，
∴无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：∵关于x的二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称，
∴对称轴：x=$-\frac{b}{2a}=-\frac{-3（m-1）}{2m}=0$，
即：3（m-1）=0，
解得：m=1．

点评 此题考查了一元二次方程根的情况以及待定系数法求二次函数的解析式．第（1）小题中，明确函数可能是一次函数也可能是二次函数，注意分类讨论思想的应用是解决此题的关键；第（2）小题，熟记二次函数的对称轴是解决此题的关键，注意掌握方程思想的应用．