Question

14．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米．
（1）牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
（2）最短路程是多少？

Answer 1

分析 （1）要求牧童行驶距离最短的饮水点P，除非AP、BP的和为两定点之间的距离，也即是P在两定点F、B的连线上．
（2）作BE⊥BD交CA的延长线于点E，求得AE=BD+AC=600+200=800m，BE=CD=600m，然后根据勾股定理求出FB的长．

解答 解：（1）作点A关于L的对称点F，连接BF交CD于点P，则点P为所求，此时PA+PB=BF，BF就是最短路程．

（2）作BE⊥BD交CA的延长线于点E，如图所示，
由题意得AE=BD+AC=600+200=800m，BE=CD=600m
由勾股定理得：BF=$\sqrt{E{F}^{2}+B{E}^{2}}$=1000m
所以最短路程为1000米．

点评 本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，可以利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．