Question

13．如图，点C是⊙O优弧AB上的一动点（异于A、B两点），OM⊥AB于点M．连接AC、BC，作BD⊥AC于点D．点C运动到某一位置时OM=CD，此时∠CAB的度数为30°．

Answer 1

分析 连结OA、OB．根据等腰三角形的性质得出∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，由圆周角定理得出∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，那么∠C=∠BOM．再利用ASA证明△BCD≌△BOM，根据全等三角形对应边相等得出BD=BM，则BD=$\frac{1}{2}$AB，由sin∠CAB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，求出∠CAB=30°．

解答 解：连结OA、OB．
∵OA=OB，OM⊥AB于点M，
∴∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠C=∠BOM．
在△BCD与△BOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BOM}\\{CD=OM}\\{∠BDC=∠BMO=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△BOM（ASA），
∴BD=BM，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴sin∠CAB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAB=30°．
故答案为30°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值，准确作出辅助线构造全等三角形得出BD=BM是解题的关键．