Question

【题目】如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的结论的序号是___________．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），利用函数图象得到在x轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；利用x=-1，y=0，得到b=-2a，c=-3a，而2＜c＜3，所以2＜-3a＜3，则可利用不等式的性质可对②进行判断；根据二次函数的性质得到二次函数的最大值为a+b+c，则a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1），于是可对③进行判断；利用b=-2a，c=-3a可对④进行判断．

解：∵抛物线与x轴交于A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当-1＜x＜3，y＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交于A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴a-b+c=0，，
∴b=-2a，c=-3a，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
而抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），
∴2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴二次函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1）
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），所以③正确；
∵b=-2a，c=-3a，
∴b2-4ac=9a2-4a（-3a）=21a2，所以④错误．
故答案为：①②③．