Question

13．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，AC与BD相交于O点，DE=3BE．
（1）求∠1的度数；
（2）若AD=12cm，求AE、AB的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，AC=BD，证出OA=OB，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠1的度数；
（2）由△OAB是等边三角形，易求得∠ADE=30°，又由AD=12cm，由含30°角的直角三角形的性质求得AE的长，由三角函数求出AB的长即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵DE=3BE，
∴BE=OE，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BAO=30°；
（2）∵△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∵AE⊥BD，AD=12cm，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=6cm，AB=AD•tan30°=12×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$（cm）．

点评 此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数．此题难度不大，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．