Question

18．如图，在ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC，交AB于点D．
（1）作△ACD外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先作线段AD的垂直平分线交AD于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆即可；
（2）连接CO，如图，利用三角形外角性质得到∠COB=2∠A=60°，则∠COB+∠B=90°，所以∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理可判断BC与⊙O相切．

解答 解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）BC与⊙O相切．   
证明如下：连接CO，如图，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠COB=2∠A=60°，
∴∠COB+∠B=30°+60°=90°，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
又BC经过半径OC的外端点C，
∴BC与⊙O相切．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定定理．