Question

10．已知：如图，把菱形ABCD沿着AC方向平移得到菱形A₁B₁C₁D₁，BC与A₁B₁相交于点E，DC与A₁D₁相交于点F．求证：四边形A₁ECF是菱形．

Answer 1

分析 由菱形的性质和平移的性质得出∠DCA=∠BCA，AD=CD=AB=CB，AD∥A₁D₁，由平行线的性质得出∠DAC=∠DCA，证出∠DCA=∠D₁A₁C，得出FA₁=FC，同理：∠ECA₁=∠EA₁C，EA₁=EC，得出∠FA₁C=∠EA₁C=∠DCA=∠ECA₁，由ASA证明△FA₁C≌△EA₁C，得出对应边相等FA₁=EA₁，FC=EC，因此FA₁=EA₁=FC=EC，即可得出结论．

解答 证明：∵把菱形ABCD沿着AC方向平移得到菱形A₁B₁C₁D₁，
∴∠DCA=∠BCA，AD=CD=AB=CB，AD∥A₁D₁，
∴∠DAC=∠DCA，∠DAC=∠D₁A₁C，
∴∠DCA=∠D₁A₁C，
∴FA₁=FC，
同理：∠ECA₁=∠EA₁C，
∴EA₁=EC，∠FA₁C=∠EA₁C=∠DCA=∠ECA₁，
在△FA₁C和△EA₁C中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F{A}_{1}C=∠E{A}_{1}C}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\\{∠F{CA}_{1}=∠EC{A}_{1}}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FA₁C≌△EA₁C（ASA），
∴FA₁=EA₁，FC=EC，
∴FA₁=EA₁=FC=EC，
∴四边形A₁ECF是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．