【题目】长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图1,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒,灯B转动的速度是b°/秒,且a、b满足|a-3b|+(a+b-4)=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即PQ∥MN,且∠BAN=45°
(1)求a、b的值;
(2)若灯B射线先转动20秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)如图2,两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作CD⊥AC交PQ于点D,则在转动过程中,∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请求出其取值范围.
【答案】(1)a=3,b=1;(2)A灯转动10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;(3)∠BAC与∠BCD的数量关系不发生变化,2∠BAC=3∠BCD.
【解析】
(1)根据非负数的性质列方程组求解即可;
(2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,分两种情况:①在灯A射线到达AN之前;②在灯A射线到达AN之后,分别列出方程求解即可;
(3)设A灯转动时间为t秒,则∠CAN=180°3t,∠BAC=∠BAN∠CAN=3t135°,过点C作CF∥PQ,则CF∥PQ∥MN,得出∠BCA=∠CBD+∠CAN=180°2t,∠BCD=∠ACD∠BCA=2t90°,即可得出结果.
解:(1)∵|a-3b|+(a+b-4)=0,
∴,
解得:,
故a=3,b=1;
(2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,
①在灯A射线到达AN之前,由题意得:3t=(20+t)×1,
解得:t=10,
②在灯A射线到达AN之后,由题意得:3t180°=180°(20+t)×1,
解得:t=85,
综上所述,A灯转动10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;
(3)∠BAC与∠BCD的数量关系不发生变化,2∠BAC=3∠BCD;
理由:设A灯转动时间为t秒,则∠CAN=180°3t,
∴∠BAC=∠BAN∠CAN=45°(180°3t)=3t135°,
∵PQ∥MN,
如图2,过点C作CF∥PQ,则CF∥PQ∥MN,
∴∠BCF=∠CBD,∠ACF=∠CAN,
∴∠BCA=∠BCF+∠ACF=∠CBD+∠CAN=t+180°3t=180°2t,
∵CD⊥AC,
∴∠ACD=90°,
∴∠BCD=∠ACD∠BCA=90°(180°2t)=2t90°,
∴2∠BAC=3∠BCD.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若点B( ,y1),C(
,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2 . 其中正确结论是 .
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【题目】某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机,若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机,共需要资金2800元;若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机,共需要资金4600元.
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元;
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售,预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台;若售出一部甲种型号手机,利润率为40%,乙型号手机的售价为1180元.为了获得最多的利润,应如何进货?
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【题目】将一副三角板按图甲的位置放置.
(1)那么∠AOD和∠BOC相等吗?请说明理由;
(2)试猜想∠AOC和∠BOD在数量上有何关系?请说明理由;
(3)若将这副三角板按图乙所示摆放,三角板的直角顶点重合在点O处.上述关系还成立吗?请说明理由.
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【题目】如图,已知直线交x轴于A,交y轴于B,过B作
,且
,点C在第四象限,点
.
求点A,B,C的坐标;
点M是直线AB上一动点,当
最小时,求点M的坐标;
点P、Q分别在直线AB和BC上,
是以RQ为斜边的等腰直角三角形
直接写出点P的坐标.
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【题目】在结束了380课时初中阶段教学内容的教学后,王老师计划按原课程设置再增加70课时用于总复习,将380课时按内容所占比例,绘制如下统计图表(图1、图2),请根据图表提供的信息,回答问题:
(1)图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度;
(2)图2中的a= ;
(3)在70课时的总复习中,王老师应安排多少课时复习图形与几何内容?
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【题目】如图,从下列四个条件①AB=BC,②AC⊥BD,③∠ABC=90°,④AC=BD中选两个作为补充条件,使ABCD成为正方形,下列四种选法错误的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①④
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【题目】①如图,四边形ABCD中,对角线相交于点O,E、F、G、H分别是AD,BD,BC,AC的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时,四边形EFGH是菱形?并证明你的结论;
②如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC中点,CE⊥AD于E,BF∥AC,交CE的延长线与点F.求证:AB垂直平分DF.
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【题目】如图,正方形ABCD的面积为12,△ABC是等边三角形,点E在正方形ABCD内,对角线AC上有一点P使PE+PD的和最小,这个最小值为( )
A. B.
C. 3 D.
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