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【题目】长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图1,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒,灯B转动的速度是b°/秒,且ab满足|a-3b|+(a+b-4)=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即PQMN,且∠BAN=45°

1)求ab的值;

2)若灯B射线先转动20秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?

3)如图2,两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过CCDACPQ于点D,则在转动过程中,∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请求出其取值范围.

【答案】1a=3b=1;(2A灯转动10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;(3)∠BAC与∠BCD的数量关系不发生变化,2BAC3BCD.

【解析】

1)根据非负数的性质列方程组求解即可;

2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,分两种情况:①在灯A射线到达AN之前;②在灯A射线到达AN之后,分别列出方程求解即可;

3)设A灯转动时间为t秒,则∠CAN180°3t,∠BAC=∠BANCAN3t135°,过点CCFPQ,则CFPQMN,得出∠BCA=∠CBD+∠CAN180°2t,∠BCD=∠ACDBCA2t90°,即可得出结果.

解:(1)∵|a-3b|+a+b-4=0

解得:

a=3b=1

2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,

①在灯A射线到达AN之前,由题意得:3t=(20t×1

解得:t10

②在灯A射线到达AN之后,由题意得:3t180°180°20t×1

解得:t85

综上所述,A灯转动10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;

3)∠BAC与∠BCD的数量关系不发生变化,2BAC3BCD

理由:设A灯转动时间为t秒,则∠CAN180°3t

∴∠BAC=∠BANCAN45°180°3t)=3t135°

PQMN

如图2,过点CCFPQ,则CFPQMN

∴∠BCF=∠CBD,∠ACF=∠CAN

∴∠BCA=∠BCF+∠ACF=∠CBD+∠CANt180°3t180°2t

CDAC

∴∠ACD90°

∴∠BCD=∠ACDBCA90°180°2t)=2t90°

2BAC3BCD.

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