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【题目】①如图,四边形ABCD中,对角线相交于点OEFGH分别是ADBDBCAC的中点.

1)求证:四边形EFGH是平行四边形;

2)当四边形ABCD满足一个什么条件时,四边形EFGH是菱形?并证明你的结论;

②如图,在RtABC中,∠ACB90°ACBCDBC中点,CEADEBFAC,交CE的延长线与点F.求证:AB垂直平分DF

【答案】①(1)见解析;(2)见解析; ②见解析.

【解析】

1)由三角形中位线知识可得EFGHEFGH,继而可得四边形EFGH是平行四边形;

2)要是菱形,只需增加相邻两边相等,如要得到EFGF,由中位线知识,只须ABCD

FBAC,∠ACB90°可得∠FBC90°,继而可得∠DBA45°,通过证明RtADCRtFBC,可得DBFB,继而可证得答案.

1∵EF分别是ADBD中点,

∴EF∥ABEFAB

同理GH∥ABGHAB

∴EFGHEF∥GH

四边形EFGH是平行四边形;

2)当四边形ABCD满足ABCD时,四边形EFGH是菱形,证明如下:

FG分别是BDBC中点,∴GFCD

∵ABCD∴EFGF

四边形EFGH是平行四边形,

四边形EFGH是菱形;

②∵∠ACB90°Rt△ADC中,∠1+∠290°

∵AD⊥CF,在Rt△EDC中,∠3+∠290°,得:∠1∠3

∵FB∥AC∠ACB90°∴∠FBC90°,得:△FBC是直角三角形,

∵ACBC∠1∠3△FBC是直角三角形,

∴Rt△ADC≌Rt△FBC

∴CDFB,∵CDDB,∴DBFB

ACBC∠ACB90°,∴∠445°,∴AB∠CBF平分线,

所以,AB垂直平分DF(等腰三角形中的三线合一定理).

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