Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，问：是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上找一点D，过点D作x轴的垂线，交AC于点E，是否存在这样的点D，使DE最长，若存在，求出点D的坐标，以及此时DE的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x﹣2；（2）存在，P（2，1）；（3）存在，点D的坐标（2，1），此时DE的长为2．

【解析】

（1）用抛物线交点式表达式确定c的值，进而求解；

（2）tan∠OAC＝，以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，则tan∠PAM＝2或，即可求解；

（3）确定DE的函数表达式，即可求解．

（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣4）＝a（x2﹣5x+4）＝ax2+bx﹣2，

故4a＝﹣2，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+﹣2；

（2）存在，理由：

设点P（x，﹣x2+﹣2），则点M（x，0），

则PM＝﹣x2+﹣2，AM＝4﹣x，

∵tan∠OAC＝，

∵以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，

故tan∠PAM＝或2，故＝2或，

解得：x＝2或4（舍去）或5（舍去），

故x＝2，

经检验x＝2是方程的解，

故P（2，1）；

（3）设直线AC的表达式为：y＝kx+t，则，解得，

故直线AC的表达式为：y＝x﹣2，

设点D（x，﹣x2+x﹣2），则点E（x，x﹣2），

DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，

∵＜0，故DE有最大值，当x＝2时，DE的最大值为2，

此时点D（2，1）；

故点D的坐标（2，1），此时DE的长为2．