Question

【题目】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，且AD=AB，连接BE交AD于点F，下列结论：（　　）

①∠EBC=∠C；②△EAF∽△EBA；③BF=3EF；④∠DEF=∠DAE，其中结论正确的个数有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】分析: 要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BE＝CE，利用外角与内角的关系可以得出∠CAD＝∠ABE，通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EF＝FH＝HB，根据等高的两三角形的面积关系求出AF＝DF，利用角的关系代替证明∠5≠∠4，从而得出△DEF与△DAE不相似．根据以上的分析可以得出正确的选项答案．

详解: ∵BC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，

∴CE＝BE，

∴∠EBC＝∠C，故①正确；

∵AD＝AB，

∴∠8＝∠ABC＝∠6＋∠7，

∵∠8＝∠C＋∠4，

∴∠C＋∠4＝∠6＋∠7，

∴∠4＝∠6，

∵∠AEF＝∠AEB，

∴△EAF∽△EBA，故②正确；

作AG⊥BD于点G，交BE于点H，

∵AD＝AB，DE⊥BC，

∴∠2＝∠3，DG＝BG＝BD，DE∥AG，

∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，DE＝AH，∠EDA＝∠3，∠5＝∠1，

∴在△DEF与△AHF中，

∠EDA＝∠3

∠5＝∠1

DE＝AH，

∴△DEF≌△AHF（AAS），

∴AF＝DF，EF＝HF＝EH，且EH＝BH，

∴EF：BF＝1：3，故③正确；

∵∠1＝∠2＋∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3，

∴∠5＝∠3＋∠4，

∴∠5≠∠4，故④错误，

综上所述：正确的答案有3个，

故选：C．

点睛: 本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识．