Question

已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过x轴上点A（1，0）和点B（3，0），且与y轴相交于点C．
（1）求此二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）求∠CPB的正弦值．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过x轴上点A（1，0）和点B（3，0），
∴，
解得，
∴此二次函数的解析式为y=x²-4x+3．
∵-=2，=-1，
∴顶点P的坐标为（2，-1）．

（2）∵y=x²-4x+3，
∴当x=0时，y=3．
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点P的坐标为（2，-1），点B的坐标为（3，0），
∴PB==，
BC==3，
PC==2，
∴PB²+BC²=PC²，
∴∠PBC=90°，
∴sin∠CPB=．
分析：（1）将点A（1，0）和点B（3，0）的坐标分别代入y=x²+bx+c，用待定系数法即可求得二次函数的解析式；再利用顶点公式求出其顶点坐标．
（2）首先根据二次函数的解析式求出点C的坐标，再分别计算PB、BC、PC的长度，然后由勾股定理的逆定理，知△PBC是直角三角形，最后根据正弦三角函数的定义求出∠CPB的正弦值．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线的顶点坐标的方法及正弦的定义．
在利用待定系数法求二次函数的关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
求抛物线的顶点坐标，可用顶点坐标公式，抛物线的顶点坐标为（-，）；也可以将解析式配方成顶点式来求．
在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边比斜边．