Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．
（1）求证：∠ECB=∠EBC；
（2）连接BF，CF，若CF=6，sin∠FCB= ，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BE⊥OB，

∴BE是⊙O的切线，∵EC是⊙O的切线，

∴EC=EB，

∴∠ECB=∠EBC

（2）解：连接CF、CO、AC．

∵EB=EC，OC=OB，

∴EO⊥BC，

∴∠CHF=∠CHO=90°，

在Rt△CFH中，∵CF=6，sin∠FCH= ，

∴FH=CFsin∠FCH= ，CH= = ，

设OC=OF=x，

在Rt△COH中，∵OC2=CH2+OH2，

∴x2=（ ）2+（x﹣ ）2，

∴x=5，

∴OH= ，

∵OH⊥BC，

∴CH=HB，∵OA=OB，

∴AC=2OH= ．

【解析】（1）只要证明EB是⊙O的切线，利用切线长定理可知EC=EB，即可解决问题．（2）连接CF、CO、AC．在Rt△CFH中，由CF=6，sin∠FCH= ，推出FH=CFsin∠FCH= ，CH= = ，设OC=OF=x，在Rt△COH中，由OC2=CH2+OH2 ， 可得x2=（ ）2+（x﹣ ）2 ， 解得x=5，推出OH= ，再利用三角形中位线定理证明AC=2OH即可解决问题．