Question

如图1，在△ABC中，∠A=72°，∠ABC与∠ACB的平分线交于I．
（1）求∠BIC的度数；
（2）如图2，如果∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，求∠BDC和∠BEC的度数；
（3）设想一下，如果∠ABC和∠ACB的n等分线相交，你能求出它们所成钝角的度数吗？

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：规律型

分析：（1）根据角平分线的定义，直接求出∠IBC+∠ICB的值，运用三角形的内角和定理即可解决问题．
（2）类比（1）中的解法，分别求出α+β，2（α+β）的值，运用三角形的内角和定理即可解决问题．
（3）类比上述解法，求出α+β的值，运用三角形的内角和定理即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，

设∠ABC=2α，∠ACB=2β；
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于I，
∴∠IBC+∠ICB=α+β；而∠A=72°，
∴72°+2（α+β）=180°，
∴α+β=54°，
∴∠BIC=180°-（α+β）=126°．

（2）如图2，

设∠ABC=3α，∠ACB=3β，
由题意得：3α+3β+72°=180°，
∴α+β=36°；
∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，
∴∠DBC+∠DCB=2（α+β）=72°，
∴∠BDC=180°-72°=108°；
∠BEC=180°-（α+β）=144°．

（3）设∠ABC=nα，∠ACB=nβ，
则n（α+β）+72°=180°，
则α+β=

108°

n

，
则它们所成钝角的度数分别为：180°-

108°

n

，180°-

2×108°

n

，…，180°-

(n-1)180°

n

．

点评：该题主要考查了三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用三角形的内角和定理等几何知识来分析、判断、推理或解答．