Question

【题目】阅读：对于函数y=ax2+bx+c（a≠0），当t1≤x≤t2时，求y的最值时，主要取决于对称轴x=﹣ 是否在t1≤x≤t2的范围和a的正负：①当对称轴x=﹣ 在t1≤x≤t2之内且a＞0时，则x=﹣ 时y有最小值，x=t1或x=t2时y有最大值；②当对称轴x=﹣ 在t1≤x≤t2之内且a＜0时，则x=﹣ 时y有最大值，x=t1或x=t2时y有最小值；③当对称轴x=﹣ 不在t1≤x≤t2之内，则函数在x=t1或x=t2时y有最值．
解决问题：
设二次函数y1=a（x﹣2）2+c（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1），且2a+c=0．
（1）求a、c的值；
（2）当﹣2≤x≤1时，直接写出函数的最大值和最小值；
（3）对于任意实数k，规定：当﹣2≤x≤1时，关于x的函数y2=y1﹣kx的最小值称为k的“特别值”，记作g（k），求g（k）的解析式；
（4）在（3）的条件下，当“特别值”g（k）=1时，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：将（0，1）代入得：4a+c=1．

又∵2a+c=0，

∴2a=1，解得：a= ．

∴c=﹣2a=﹣2× =﹣1．

（2）解：∵a= ，c=﹣1，

∴y1= （x﹣2）2﹣1．

∴x=﹣ =2．

∵x=2不在﹣2≤x≤1之内，

∴当x=﹣2时，y1有最大值，最大值为= ×16﹣1=7，当x=1时，y1有最小值，最小值为= ×1﹣1=﹣

（3）解：∵y2=y1﹣kx，

∴y2= （x﹣2）2﹣1=﹣kx= x2﹣（k+2）x+1．

∴抛物线的对称轴为x=k+2．

当k+2＜﹣2时，即k＜﹣4时，当x=﹣2时，y2有最小值，y2的最小值= ×4+2（k+2）+1=2k+7；

当﹣2≤k+2≤1时，即﹣4≤k≤﹣1时，当x=k+2时，y2有最小值，y2的最小值= （k+2）2﹣（k+2）2+1=﹣ （k+2）2+1．

当k+2＞1时，即k＞﹣1时，当x=1时，y2有最小值，y2的最小值= ×1﹣（k+2）+1=﹣k﹣ ．

综上所述，g（k）的解析式为g（k）=

（4）解：当k＜﹣4时：令y=2k+7=1，得k=﹣3，不合题意舍去；

当﹣4≤k≤﹣1时：令y=﹣ （k+2）2+1=1；得k=﹣2．

当k＞﹣1时：令y=﹣k﹣ =1，得k=﹣ ，舍去．

综上所述，k=﹣2．

【解析】（1）将（0，1）代入得：4a+c=1，然后将4a+c=1与2a+c=0联立可求得a、c的值；（2）将a= ，c=﹣1代入得y1= （x﹣2）2﹣1，抛物线的对称轴为x=2，然后在﹣2≤x≤1范围内，当x=﹣2时，y1有大值，当x=1时，y1有最小值；（3）由题意可知y2= x2﹣（k+2）x+1，抛物线的对称轴为x=k+2，然后分为k+2＜﹣2、﹣2≤k+2≤1、k+2＞1三种情况分别求得y2的最小值即可；（4）由g（k）=1列出关于k的方程，从而可求得k的值．