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【题目】如图,已知,正方形ABCD和一个圆心角为45°的扇形,圆心与A点重合,此扇形绕A点旋转时,两半径分别交直线BCCD于点PK

1)当点PK分别在边BCCD上时,如图(1),求证:BP+DKPK

2)当点PK分别在直线BCCD上时,如图(2),线段BPDKPK之间又有怎样的数量关系,请直接写出结论.

3)在图(3)中,作直线BD交直线APAKMQ两点.若PK5CP4,求PM的长.

【答案】1)证明见解析;(2BPDK+PK,理由见解析;(3PM的长是

【解析】

1)延长CDN,使DN=BP,连接AN,根据正方形的性质和全等三角形的判定SAS证△ABP≌△ADN,推出AN=AP,∠NAD=PAB,求出∠NAK=KAP=45°,根据SAS证△NAK和△KAP全等即可;
2)在BC上截取BN=DK,连接AN,与(1)类似证△ADK≌△ABN和△KAP≌△NAP,推出BN=DKNP=PK即可;
3)在DC上截取DN=BP,连接AN,与(1)类似证△ADN≌△ABP和△KAP≌△KAN,推出BP=DNNK=PK,得出DK=PB+PK,求出正方形的边长,根据勾股定理求出ANAKAP,求出∠ABM=ACK=135°,∠PAB=CAK,证△MAB和△KAC相似,得出比例式,代入求出即可.

1)证明:延长CDN,使DNBP,连接AN

∵正方形ABCD

∴∠ABP=∠ADC90°=∠BADADAB

∴∠ADN90°=∠ABP

ABPADN

,

∴△ABP≌△ADN

ANAP,∠NAD=∠PAB

∵∠BAD90°,∠PAK45°

∴∠BAP+KAD45°

∴∠NAD+DAK45°

即∠NAK=∠KAP45°

NAKKAP

,

∴△PAK≌△NAK

NKKP

BP+DKPK

2)解:BPDK+PK

理由是:在BC上截取BNDK,连接AN

与(1)类似ADK≌△ABN

AKAN,∠KAD=∠BAN

∵∠KAP45°

∴∠NAB+DAP45°

∴∠NAP90°45°45°=∠KAP

与(1)类似KAP≌△NAPSAS),

PKPN

BPBN+NPDK+PK

BPDK+PK

3)解:在CPK中,CP4PK5,由勾股定理得:CK3

DC上截取DNBP,连接AN

由(1)可知:ANAP

与(2)证法类似NAK≌△PAK

PKNK

DKPB+PK

DC+34BC+5

∵正方形ABCDDCBC

解得:ADDCBCAB3

连接AC

∵正方形ABCD

∴∠ACB=∠DBC=∠MBP45°

∵∠ABC=∠PCK90°

∴∠ABM=∠ACK45°+90°135°

RtABC中,由勾股定理得:AC3

RtABP中,由勾股定理得:AP

RtADK中,由勾股定理得:AK3

∵∠PAK=∠BAC45°,∠BAK=∠BAK

∴∠PAB=∠KAC

∵∠ABM=∠ACK

∴△MAB∽△KAC

解得:PM

答:PM的长是

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