Question

5．如图，点A，B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，分别过点A、B向x轴、y轴作垂线．垂足分别为点C、E、F、D，AC和BD交于点P，$\frac{AP}{PC}$=2且△ABP的面积为4，有以下结论：
①四边形DPCO的面积为2；②k=12；③$\frac{BP}{DP}$=2；④S_{四边形AEDP}=S_{四边形BPCF}=2．
其中正确的是①③．（填上所有你认为正确的结论的序号）．

Answer 1

分析 设点A坐标为（m，$\frac{k}{m}$），点B坐标为（n，$\frac{k}{n}$），结合$\frac{AP}{PC}$=2且△ABP的面积为4列出关于m、n和k的分式方程组，解方程组得出m、n之间的关系以及k的值，由此得出②不成立；①由A、B点的坐标，结合m、n之间的关系利用矩形的面积公式即可得知结论成立；③由A、B点的坐标和m、n之间的关系，结合两点间的距离即可得知结论成立；④由A、B点的坐标，结合m、n之间的关系利用矩形的面积公式即可得出S_{四边形AEDP}=S_{四边形BPCF}=4，即④不成立，从而得出正确的结论是①③．

解答 解：设点A坐标为（m，$\frac{k}{m}$），点B坐标为（n，$\frac{k}{n}$）（0＜m＜n）．
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{m}-\frac{k}{n}=2\frac{k}{n}}\\{（n-m）（\frac{k}{m}-\frac{k}{n}）=4×2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=6}\\{n=3m}\end{array}\right.$．
故②k=12，不成立；
①四边形DPCO的面积S=OC•PC=m•$\frac{k}{n}$=m•$\frac{6}{3m}$=2，
即①成立；
③BP=n-m=2m，DP=m，
故$\frac{BP}{DP}=\frac{2m}{m}$=2，③成立；
④S_{四边形AEDP}=AP•DP=（$\frac{6}{m}$-$\frac{6}{n}$）•m=4，
S_{四边形BPCF}=BP•PC=（n-m）•$\frac{6}{n}$=4，
故S_{四边形AEDP}=S_{四边形BPCF}=4，④不成立．
故答案为：①③．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积公式以及矩形的面积公式，解题的关键是：设出A、B两点的坐标结合已知条件得出关于m、n和k的分式方程组，得出m、n之间的关键求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目的方法是：先根据题意列出方程组，求出m、n之间的关系和k的值后，再去判断各结论的对错．