【题目】如图,直线y=﹣x+4与x轴,y轴分别交于点B,C,点A在x轴负半轴上,且OA=OB,抛物线y=ax2+bx+4经过A,B,C三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点,设点P的横坐标为m,过点P作PD⊥BC,垂足为D,用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD的最大值.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)PD=﹣
(m﹣2)2+
,,PD有最大值,最大值为
.
【解析】
(1)先求出点A、B的坐标,再利用待定系数法求解即可;
(2)先求出C、P的坐标,由此得到线段CP的长度,根据平行线的性质得,解直角三角形即可求出PD的表达式,利用二次函数的性质求出PD的最大值即可.
(1)在y=﹣x+4中,当x=0时,y=4;当y=0时,x=4,
∴B(4,0),C(0,4),
∴OB=OC=4,
∴OA=OB=2,
即A(﹣2,0),
把A(﹣2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4中,得
,解得
,
抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+4;
(2)过P作PF∥y轴,交BC于F,
在Rt△OBC中,∵OB=OC=4,∴∠OCB=45°,
∴∠PFD=45°,
∴PD=PF,
由P(m,﹣m2+m+4),F(m,-m+4),得:PF=﹣
m2+2m,
∴PD=(﹣
m2+2m)
=﹣(m﹣2)2+
,其中,0<m<4,
∵﹣<0,
∴当m=2时,PD有最大值,最大值为.
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【题目】某水果店销售一种水果的成本价是元/千克.在销售过程中发现,当这种水果的价格定在
元/千克时,每天可以卖出
千克.在此基础上,这种水果的单价每提高
元/千克,该水果店每天就会少卖出
千克.
若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是
元,则单价应定为多少?
在利润不变的情况下,为了让利于顾客,单价应定为多少?
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【题目】如图,在直角坐标系内,已知A(2,3),B(4,1),直线l过P(m,0),A、B关于l的对称点分别为A’、B’,请利用直尺(无刻度)和圆规按下列要求作图.
(1)当A’与B重合时,请在图1中画出点P位置,并求出m的值;
(2)当A’、B’都落在y轴上时,请在图2中画出直线l,并求出m的值.
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【题目】为了节省材料,某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边,用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是___m2.
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【题目】已知二次函数的图象经过点A(1,2)和B(0,-1)且对称轴为x2.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)抛物线上点P(2,m)在图象上,求△PAB的面积.
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【题目】北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营.截至2017年1月,北京地铁共有19条运营线路,覆盖北京市11个辖区.据统计,2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍,2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时,求2017年地铁每小时的客运量?
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【题目】如图,抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)已知直线l的解析式为y=kx﹣5.
(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.
(2)若直线l将线段AB分成1:3两部分,求k的值;
(3)当k=2时,直线与抛物线交于M、N两点,点P是抛物线位于直线上方的一点,当△PMN面积最大时,求P点坐标,并求面积的最大值.
(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围;
②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.
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【题目】我省某工厂为全运会设计了一款成本每件20元的工艺品,投放市场试销后发现销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,当售价为23元/件时,每天销售量为790件;当售价为25元/件,每天销售量为750件.
(1)求y与x的函数关系;
(2)如果该工艺品最高不超过每件30元,那么售价定位每件多少元时,工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?
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