Question

【题目】如图，为的外接圆，，作直线，于．

（1）图1，求证：是的切线；

（2）图2，交于点，过点作，垂足为，交于点．

①求证：；

②若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②．

【解析】

(1)连接OA，OB，OC，由AC=AB，OA=OA，OC=OB可证出△OAC≌△OAB(SSS)，利用全等三角形的性质可得出∠OAC=∠OAB，即AO平分∠BAC，利用垂径定理可得出AO⊥BC，结合AD//BC可得出AD⊥AO，由此即可证出AD是⊙O的切线；
(2)①连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE=90°可得出∠BAE=90°，由同角的余角相等可得出∠BAG=∠AEB，结合∠ABC=∠ACB=∠AEB可得出∠BAG=∠ABC，由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC=180°，即可得结论；
②由∠ADC=∠AFB=90°，∠ACD=∠ABF，AC=AB可证出△ADC≌△AFB(AAS)，利用全等三角形的性质可求出AF，BF的长，设FG=x，在Rt△BFG中，利用勾股定理可求出x的值，即可求解．

证明：(1)如图1，连接OA，OB，OC．

在△OAC和△OAB中，
，
∴△OAC≌△OAB(SSS)，
∴∠OAC=∠OAB，
∴AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC．
又∵AD//BC，
∴AD⊥AO，
∴AD是⊙O的切线．
(2)①证明：如图2，连接AE．

∵AD//BC，AD⊥CD，
∴∠BCE=90°，
∴∠BAE=90°．
又∵AF⊥BE，
∴∠AFB=90°．
∵∠BAG+∠EAF=∠AEB+∠EAF=90°，
∴∠BAG=∠AEB．
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，
∴∠BAG=∠ABC，
∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠BAD+∠BAG=180°；
②在△ADC和△AFB中，
，
∴△ADC≌△AFB(AAS)，
∴AF=AD=3，BF=CD=4，
∵∠BAG=∠ABC，
∴AG=BG
设FG=x，在Rt△BFG中，FG=x，BF=4，BG=AG=x+3，
∴FG2+BF2=BG2，即x2+42=(x+3)2，
∴x=，
∴FG=．