Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．

（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；

（2）若AD＝6，AE＝6，求△DBE外接圆的半径及CE的长．

Answer 1

【答案】（1）直线AC与△DBE外接圆相切，理由见解析；（2）外接圆的半径为3，CE的长为2

【解析】

（1）连接，根据直线与圆相切的判定定理，需证明，即，已知，则需证明，根据等腰三角形结合平分的条件即可证明.

（2）根据已知条件，可设圆的半径为，在中根据勾股定理列方程解答即可；求，可过作于，根据角平分线的性质可得，故在中用等面积法求即可.

解：（1）直线AC与△DBE外接圆相切．理由：

∵DE⊥BE

∴BD为△DBE外接圆的直径

取BD的中点O（即△DBE外接圆的圆心），连接OE

∴OE＝OB

∴∠OEB＝∠OBE

∵BE平分∠ABC

∴∠OBE＝∠CBE

∴∠OEB＝∠CBE

∵∠CBE+∠CEB＝90°

∴∠OEB+∠CEB＝90°

即OE⊥AC

∴直线AC与△DBE外接圆相切；

（2）设⊙O的半径为r，则在Rt△AOE中，AD＝6，AO＝r+6，AE＝6，

OA2＝OE2+AE2，

即：（r+6）2＝r2+（6）2，

解得：r＝3

则△BDE的外接圆的半径为3．

过点E作EF⊥AB于F，

∵BE平分∠ABC，∠C＝90°

∴EF＝EC

在Rt△AOE中，AO＝6+3＝9，

EF＝

∴CE＝EF＝2

∴外接圆的半径为3，CE的长为2．