Question

5．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；
（2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4，结合已知条件证得结论；
（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理得出5²=x²+（2x-5）²，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出$\frac{PF}{8}$=$\frac{4}{6}$，求得PF=$\frac{16}{3}$，即可求得PD的长．

解答 （1）证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4（同角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，
∴∠PED=∠4，
即ED平分∠BEP；

（3）解：设EF=x，则CF=2x，
∵⊙O的半径为5，
∴OF=2x-5，
在RT△OEF中，OE²=OF²+EF²，即5²=x²+（2x-5）²，
解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD-CF=10-8=2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴$\frac{PF}{BE}$=$\frac{EF}{AE}$，即$\frac{PF}{8}$=$\frac{4}{6}$，
∴PF=$\frac{16}{3}$，
∴PD=PF-DF=$\frac{16}{3}$-2=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．