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【题目】已知等腰△ABC中,AB=AC,ABC的平分线交ACD,过点AAE // BCBD的延长线于点E,∠CAE的平分线交BE于点F.

(1)①如图,若∠BAC=36o,求证:BD=EF

②如图,若∠BAC=60o,求的值;

(2)如图,若∠BAC=60o,过点DDG// BC,交AB于点G,点NBC中点,点P, M分别是GD, BG上的动点,且∠PNM=60°. 求证:AP=PN=MN.

【答案】1)①见解析;②;(2)见解析.

【解析】

1)①如图1,根据题意可依次求得∠1=E=3=36°,∠2=4=72°,再根据等腰三角形的判定和等量代换即得结论;

②如图2,根据AB=AC,∠BAC=60°可得△ABC是等边三角形,根据AE // BCBD是∠ABC的平分线,可得AB=AE,进一步即可求得∠1=3=E=30°,然后利用30°角的直角三角形的性质可得BDABEFAE的关系,问题即得解决.

2)如图3,连接DNGN,根据题意易得△ADG、△BNG、△GDN为全等的等边三角形,然后利用SAS可证△AGP≌△NGP,从而可得AP=NP,再根据ASA可证△GMN≌△DPN,从而可得MN=PN,问题即得解决.

解:(1)①证明:如图1,∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=ACB==72°

BD是∠ABC的平分线,∴

,∴BD=AD

AE // BC,∴

AF平分∠DAE,∴

∠3=∠E

AF=EF

,∴AD=AF

BD=EF

②如图2,∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=ACB=60°,

BD是∠ABC的平分线,∴BDAC

,∴

AE // BC,∴

,∴AB=AE

AF平分∠CAE,∴

,∴FA=FE

过点FFGAEG,则

在直角△EFG中,∵,∴

,∴

2)连接DNGN,如图3,∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形,

由上一小题知:DAC中点,∵DG// BC,∴GAB中点,

又因为点NBC中点,则△ADG、△BNG、△GDN为全等的等边三角形,

AG=GN,∠AGP=NGP=60°

又∵GP=GP

∴△AGP≌△NGPSAS),

AP=NP

∵∠MNP=GND=60°,∴∠MNG=PND

又∵GN=DN,∠MGN=PDN=60°

∴△GMN≌△DPNASA),

MN=PN

AP=PN=MN.

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