【题目】已知等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D,过点A作AE // BC交BD的延长线于点E,∠CAE的平分线交BE于点F.
(1)①如图,若∠BAC=36o,求证:BD=EF;
②如图,若∠BAC=60o,求的值;
(2)如图,若∠BAC=60o,过点D作DG// BC,交AB于点G,点N为BC中点,点P, M分别是GD, BG上的动点,且∠PNM=60°. 求证:AP=PN=MN.
【答案】(1)①见解析;②;(2)见解析.
【解析】
(1)①如图1,根据题意可依次求得∠1=∠E=∠3=36°,∠2=∠4=72°,再根据等腰三角形的判定和等量代换即得结论;
②如图2,根据AB=AC,∠BAC=60°可得△ABC是等边三角形,根据AE // BC和BD是∠ABC的平分线,可得AB=AE,进一步即可求得∠1=∠3=∠E=30°,然后利用30°角的直角三角形的性质可得BD与AB、EF与AE的关系,问题即得解决.
(2)如图3,连接DN、GN,根据题意易得△ADG、△BNG、△GDN为全等的等边三角形,然后利用SAS可证△AGP≌△NGP,从而可得AP=NP,再根据ASA可证△GMN≌△DPN,从而可得MN=PN,问题即得解决.
解:(1)①证明:如图1,∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB==72°,
∵BD是∠ABC的平分线,∴,
∴,∴BD=AD,,
∵AE // BC,∴,
∴,
∵AF平分∠DAE,∴,
∴∠3=∠E,
∴AF=EF,,
∴,∴AD=AF,
∴BD=EF;
②如图2,∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵BD是∠ABC的平分线,∴,BD⊥AC,
∴,∴,
∵AE // BC,∴,,
∴,∴AB=AE,
∵AF平分∠CAE,∴,
∴,∴FA=FE,
过点F作FG⊥AE于G,则,
在直角△EFG中,∵,∴,,
∴,∴
∴;
(2)连接DN、GN,如图3,∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形,
由上一小题知:D为AC中点,∵DG// BC,∴G为AB中点,
又因为点N为BC中点,则△ADG、△BNG、△GDN为全等的等边三角形,
∴AG=GN,∠AGP=∠NGP=60°,
又∵GP=GP,
∴△AGP≌△NGP(SAS),
∴AP=NP,
∵∠MNP=∠GND=60°,∴∠MNG=∠PND,
又∵GN=DN,∠MGN=∠PDN=60°,
∴△GMN≌△DPN(ASA),
∴MN=PN,
∴AP=PN=MN.
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【题目】为丰富居民业余生活,某居民区组建筹委会,该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算,一共需要筹资30 000元,其中一部分用于购买书桌、书架等设施,另一部分用于购买书刊.
(1)筹委会计划,购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍,问最多用多少资金购买书桌、书架等设施?
(2)经初步统计,有200户居民自愿参与集资,那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后,赠送了一批阅览室设施和书籍,这样,只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传,自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中).则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了%,求a的值.
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【题目】仙降是瑞安重要的制鞋基地,其生产的鞋子畅销世界各地,某制鞋企业欲将件产品运往三地销售,运往地的费用为18元/件,运往地的费用为20元/件,运往地的费用为17元/件,要求运往地的件数与运往地的件数相同. 设安排件产品运往地.
(1)若①运往地件数为 件(用含的代数式表示);②若总运费不超过1850元,则运往地至少有多少件?
(2)若总运费为1900元,则的最大值为 .(直接写出答案)
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作AP射线,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为________.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,经过C作CD⊥AB于点D,CF是⊙O的切线,过点A作AE⊥CF于E,连接AC.
(1)求证:AE=AD.
(2)若AE=3,CD=4,求AB的长.
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【题目】若二次函数y=x2+与y=-x2+k的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是( )
A. 这两个函数图象有相同的对称轴 B. 这两个函数图象的开口方向相反
C. 方程-x2+k=0没有实数根 D. 二次函数y=-x2+k的最大值为
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【题目】如图,已知AD∥BC,点E是CD上一点,AE平分∠BAD,BF平分∠ABC,延长BE交AD的延长线于点F
(1)求证:△ABE≌△AFE;
(2)若AD=2,BC=6,求AB的长.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,其中CE=CF,G是CD与EF的交点.
(1)求证:△BCF≌△DCE;
(2)若BC=5,CF=3,∠BFC=90°,求DG︰GC的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线.
当抛物线的顶点在轴上时,求该抛物线的解析式;
不论取何值时,抛物线的顶点始终在一条直线上,求该直线的解析式;
若有两点,且该抛物线与线段始终有交点,请直接写出的取值范围.
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