【题目】(12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数解析式;
(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形.是否存在点P,使四边形为菱形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
【答案】(1) (2) (3) , .
【解析】试题分析:(1)利用待定系数法,将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值,问题就可得解;
(2)作PE⊥CO于E,由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POP′C为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线上,据此,可求出直线PE的解析式,联立抛物线的解析式,即可求出P点的坐标;
(3)由于△ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,△BPC的面积最大,过P作y轴的平行线,交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线BC的解析式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积,由此,可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,再根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.
试题解析:(1)将B、C两点的坐标代入,得
解之,得
所以二次函数的解析式为.
(2)如图1,假设抛物线上存在点P,使四边形为菱形,连接交CO于点E.
∵四边形为菱形,
∴PC=PO,且PE⊥CO.
∴OE=EC=,即P点的纵坐标为
由=,得
(不合题意,舍去)
所以存在这样的点,此时P点的坐标为(, ).
(3)如图2,连接PO,作PM⊥x于M,PN⊥y于N.设P点坐标为(x, ),
由=0,得点A坐标为(-1,0).
∴AO=1,OC=3, OB=3,PM=,PN=x.
∴S四边形ABPC=++
=AO·OC+OB·PM+OC·PN
=×1×3+×3×()+×3×x
=
=.
易知,当x=时,四边形ABPC的面积最大.此时P点坐标为(, ),四边形ABPC的最大面积为.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中点A(-1,0),点C(0,5),点D(1,8)都在抛物线上,已知M为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求△MCB的面积;
(3)根据图形直接写出使直线MC表示的一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
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【题目】PM2.5是大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物,PM2.5粒径小,面积大,活性强,易附带有毒、有害物质(例如,重金属、微生物等),且在大气中的停留时间长、输送距离远,因而对人体健康和大气环境质量有较大的影响.在这里将数字0.0000025用科学计数法表示为( )
A. 0.25×10﹣5B. 0.25×10﹣6C. 2.5×10﹣5D. 2.5×10﹣6
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;
将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
…
如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=_____.
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【题目】(8分)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且点A,C在一次函数y2= x+n的图象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y1随着x的增大而减小时,求自变量x的取值范围.
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【题目】(10分)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.
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【题目】下面给出四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. 1∶2∶3∶4 B. 2∶3∶2∶3
C. 2∶2∶3∶3 D. 1∶2∶2∶3
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