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【题目】12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于AB两点,B点的坐标为(30),与y轴交于点,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.

1)求二次函数解析式;

2)连接POPC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形.是否存在点P,使四边形为菱形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;

3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

【答案】1 2 3 .

【解析】试题分析:(1)利用待定系数法,将BC的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值,问题就可得解;

2)作PECOE,由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POP′C为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线上,据此,可求出直线PE的解析式,联立抛物线的解析式,即可求出P点的坐标;

3)由于ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,BPC的面积最大,过Py轴的平行线,交直线BCQ,交x轴于F,易求得直线BC的解析式可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出QP的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得BPC的面积,由此,可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,再根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.

试题解析:(1)将BC两点的坐标代入,得

解之,得

所以二次函数的解析式为.

2)如图1,假设抛物线上存在点P,使四边形为菱形,连接CO于点E

∵四边形为菱形,

PC=PO,且PECO

OE=EC=,即P点的纵坐标为

=,得

(不合题意,舍去)

所以存在这样的点,此时P点的坐标为( .

3)如图2,连接PO,作PMxMPNyN.设P点坐标为(x ),

=0,得点A坐标为(-10.

AO=1OC=3 OB=3P=PNx

S四边形ABPC=++

=AO·OC+OB·PM+OC·PN

=×1×3+×3×()+×3×x

=

=.

易知,当x=时,四边形ABPC的面积最大.此时P点坐标为( ),四边形ABPC的最大面积为.

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