【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+
x+4,x=3;(2)C(0,4);y=
x+4.(3)Q1(3,0),Q2(3,4+
),Q3(3,4-
).
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线解析式,利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程;
(2)在抛物线解析式中,令x=0,可求出点C坐标;令y=0,可求出点B坐标.再利用待定系数法求出直线BD的解析式;
(3)本问为存在型问题.若△ACQ为等腰三角形,则有三种可能的情形,需要分类讨论,逐一计算,避免漏解.
(1)∵抛物线y=-x2+bx+4的图象经过点A(-2,0),
∴-×(-2)2+b×(-2)+4=0,
解得:b=,
∴抛物线解析式为 y=-x2+
x+4,
又∵y=-x2+
x+4=-
(x-3)2+
,
∴对称轴方程为:x=3.
(2)在y=-x2+
x+4中,令x=0,得y=4,
∴C(0,4);
令y=0,即-x2+
x+4=0,整理得x2-6x-16=0,解得:x=8或x=-2,
∴A(-2,0),B(8,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(8,0),C(0,4)的坐标分别代入解析式,得:
,
解得,
∴直线BC的解析式为:y=x+4.
∵抛物线的对称轴方程为:x=3,
可设点Q(3,t),则可求得:
AC=,
AQ=,
CQ=.
i)当AQ=CQ时,有=
,
25+t2=t2-8t+16+9,
解得t=0,
∴Q1(3,0);
ii)当AC=AQ时,有
t2=-5,此方程无实数根,
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形;
iii)当AC=CQ时,有,
整理得:t2-8t+5=0,
解得:t=4±,
∴点Q坐标为:Q2(3,4+),Q3(3,4-
).
综上所述,存在点Q,使△ACQ为等腰三角形,点Q的坐标为:Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4-
).
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【题目】下列命题中,哪些是真命题?哪些是假命题?
(1)内错角相等;
(2)两直线平行,同旁内角互补;
(3)若x=2,则x+1>1;
(4)不等式两边同时乘以或除以一个负数,不等号应改变方向;
(5)三角形两边之和大于第三边.
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【题目】(7分)某产品每件的成本10元,试销阶段每件产品的销售价(元)与产品的日销售量
(件)之间的关系如下表:
| 15 | 20 | 30 | … |
| 25 | 20 | 10 | … |
且日销售量(件)是销售价
(元)的一次函数.
(1)求出日销售量(件)与销售价
(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时最大销售利润是多少?
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【题目】(12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点
,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数解析式;
(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形.是否存在点P,使四边形
为菱形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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【题目】小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:
①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤.
你认为其中正确的信息是_______
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【题目】已知抛物线y=mx2-(m+5)x+5.
(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,过(1) 中定点的直线L;y=x+k交y轴于点D,且AB=4,圆心在直线L上的⊙M为A、B两点,求抛物线和直线的关系式,弦AB与弧围成的弓形面积.
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