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【题目】已知抛物线y=mx2-(m+5)x+5.

(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;

(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,(1) 中定点的直线L;y=x+ky轴于点D,AB=4,圆心在直线L上的⊙MAB两点,求抛物线和直线的关系式,AB与弧围成的弓形面积.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的联系、根的判别式、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数解析式的确定、扇形面积的计算方法等

1)若抛物线于x轴有交点,那么当y=0时,所得方程的根的判别式恒大于等于0,可据此进行证明;将抛物线解析式的右边,用十字相乘法进行因式分解,可得:y=mx-5)(x-1),由此可看出抛物线一定经过点(10).

2)由于抛物线交x轴于AB两点,且AB左侧,且AB都在原点的右侧,因此A10),B50),根据A点坐标,可确定直线的解析式,根据AB的坐标,可确定抛物线的解析式;

M同时经过AB两点,根据抛物线和圆的对称性知:点M必为抛物线对称轴与直线的交点,由此可求得点M的坐标为(32),而AB=4,因此ABM是个等腰直角三角形,即可得到的圆心角,那么扇形MAB的面积减去等腰直角三角形MAB的面积即为所求弓形的面积.

(1)证明:∵y=mx2-(m+5)x+5,∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m2+10m+25-20m="(m-" 5)2.

不论m取任何实数,(m-5)2≥0,△≥0,故抛物线与x轴必有交点.

∵x轴上点的纵坐标均为零,∴y=0,代入y=mx2-(m+5)x+5,

mx2-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,

x=x=1.故抛物线必过x轴上定点(1,0).

(2):如答图所示,

∵L:y=x+k,(1,0)代入上式,

0=1+k,∴k=-1,∴y="x-1."

抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,AB=4,

∵x1x2>0,∴x1="1," x2=5,∴A(1,0),B(5,0),

B(5,0)代入y=mx2-(m+5)x+5,0=25m-(m+5)×5+5.

∴m=1,∴y=x2-6x+5.

∵M点既在直线L:y=x-1,又在线段AB的垂直平分线上,

M点的横坐标x1+=1+.

x=3代入y=x-1,y=2.

圆心M(3,2),半径r=MA=MB=,

∴MA2=MB2=8.

AB2=42= 16,∴MA2+MB2=AB2,

∴△ABM为直角三角形,∠AMB=90°,

S弓形ACB=S扇形AMB- SABM=.

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