Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是线段BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点．
（1）当点D在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．
（2）在满足第一问的条件下，连结AD，此时图中共有几对全等三角形？并请给予写出．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,全等三角形的判定,角平分线的性质

专题：

分析：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）求出DE=DF，AE=AF，根据SSS证出△AED≌△AFD即可，根据SSS证出△ABD≌△ACD即可．

解答：解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△BED和△CFD中

∠B=∠C ∠DEB=∠DFC BD=CD

，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．

（2）有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD．
∵由（1）知△BED≌△CFD，
∴DE=DF，BE=CF，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED和△AFD中

AD=AD AE=AF DE=DF

，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∵在△ADB和△ADC中

AB=AC AD=AD BD=CD

，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力．