Question

7．设k为正整数，记k！=1×2×3×…×k，S=1！（1²+1+1）+2！（2²+2+1）+3！（3²+3+1）+…+2014！（2014²+2014+1），则$\frac{S+1}{2015！}$=2015．

Answer 1

分析 根据题意化简得到n！（n²+n+1）=（n+1）•（n+1）！-n•n！，进而确定出S，代入原式计算即可得到结果．

解答 解：∵n！（n²+n+1）=n！[（n+1）²-n]=（n+1）²n！-n•n！=（n+1）•（n+1）！-n•n！，
∴S=2•2！-1•1！+3•3！-2•2！+…+2015•2015！-2014•2014！=2015•2015！-1•1！，
则$\frac{S+1}{2015！}$=$\frac{2015•2015！}{2015！}$=2015．
故答案为：2015

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．