Question

19．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若AE=9，BE=3，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）作CF⊥AD的延长线于F，再由条件就可以得出△CDF≌△CEB，就可以得出CF=CE，从而得出结论；
（2）先证△CFA≌△CEA，可以得出AF=AE，DF=BE，就可以求出DF的值从而得出结论．

解答 （1）证明：作CF⊥AD，交AD延长线与F
∵∠CDF+∠ADC=180°
∠ABC+∠ADC=180°
∴∠CDF=∠ABC，即∠EBC=∠CDF
∵CE⊥AB，那么∠CEB=∠CFD=90°
在△CFD和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠CFB}\\{∠EBC=∠CDF}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CBE（AAS）
∴CE=CF
∵CF⊥AD，CE⊥AB，CE=CF，
∴AC平分∠BAD；

（2）解：∵AC平分∠BAD
∴∠FAC=∠EAC
在△CFA和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEA=∠CFA}\\{∠FAC=∠EAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CFA≌△CEA（AAS），
∴AF=AE=9，
∵△CDF≌△CBE，
∴DF=BE=3，
∴AD=AF-FD=9-3=6．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，角平分线的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．