Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为△ABC外一点，且AC=CD，∠CBD=30°，求证：∠BDC=180°-$\frac{1}{2}$∠BAC．

Answer 1

分析 如图所示：过点A作AE⊥BC，垂足为E，将△BDC绕点C旋转使得DC与AC重合，过点F作FG⊥BC，垂足为G，由旋转的性质可知：∠CFA=∠CBD=30°，BC=FC，∠BDC=∠FAC，由等腰三角形的性质可知EC=$\frac{1}{2}BC$，∠CAE=$\frac{1}{2}∠BAC$，由含30°直角三角形的性质可知EG$\frac{1}{2}$FC，从而得到点E与点G重合，故此点F、A、E在一条直线上，从而可证明∠BDC+$\frac{1}{2}∠$BAC=180°．

解答 解：如图所示：过点A作AE⊥BC，垂足为E，将△BDC绕点C旋转使得DC与AC重合，过点F作FG⊥BC，垂足为G．

由旋转的性质可知：∠CFA=∠CBD=30°，BC=FC，∠BDC=∠FAC．
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}BC$，∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}∠BAC$．
∵FG⊥BC，∠F=30°，
∴EG$\frac{1}{2}$FC．
∴EC=CG．
∴点E与点G重合．
∴点F、A、E在一条直线上．
∴∠FAC+∠CAE=180°．
∴∠BDC+$\frac{1}{2}∠$BAC=180°．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°直角三角形的性质，证得点F、A、E在一条直线上是解题的关键．