Question

8．在△ABC中，AB=AC=4，∠A=α，P，Q分别是射线BA和AC延长线上的两点，且BP=CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D，
（1）如图，当α=60°时，如果点P在线段AB上，那么AP的长度为多少时，∠APQ是一个直角；
（2）当α是一个定值时，过点P作PE⊥BC，交射线BC于点E，在点P、点Q的运动过程中，判断并说明DE的长度是否一个定值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠Q=30°，由直角三角形的性质得到AP=$\frac{1}{2}$AQ，设BP=x，则AP=4-x，AQ=4+x，列方程得到x=$\frac{8}{3}$，于是得到结论；
（2）作PF∥AQ，由平行线的性质得到∠PFB=∠ACB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，等量代换得到∠B=∠PFB，根据等腰三角形的判定得到BE=EF，PF=BP推出△PFD≌△QCD，根据全等三角形的性质得到DF=CD，推出DE=EF+FD=$\frac{1}{2}$BC，即可得到结论．

解答 解：（1）∵α=60°，PQ⊥AB，
∴∠Q=30°，
∴AP=$\frac{1}{2}$AQ，
∵AB=AC=4，
设BP=x，则AP=4-x，AQ=4+x，4-x=$\frac{1}{2}$（4+x），
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴AP=$\frac{8}{3}$时，∠APQ=90°；

（2）作PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BE=EF，PF=BP，
∵PB=CQ，
∴CQ=PF，
∵PF∥AQ，
∴∠1=∠Q，
在△PFD与△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠Q}\\{∠2=∠3}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD，
∴DF=CD，
∴DE=EF+FD=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF为定值．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．