Question

13．已知抛物线y=-x²+mx+n经过点A（1，0），B（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y＜0，直接写出自变量x的取值范围；
（3）抛物线与y轴交于点D，P是x轴上一点，且△PAD是以AD为腰的等腰三角形，试求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标代入y=-x²+mx+n得到关于m、n的方程组，然后解方程组即可；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；
（3）设P（t，0），先确定D（0，-6），利用勾股定理计算出AD=$\sqrt{37}$，再分类讨论：当DP=DA时，根据等腰三角形性质得点P与点A关于x轴对称，易得P点坐标为（-1，0）；当AP=AD时，即AP=$\sqrt{37}$，再求粗OP的长，然后写出此时P点坐标．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-1+m+n=0}\\{-36+6m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=-6}\end{array}\right.$．
所以抛物线解析式为y=-x²+7x-6；
（2）当y=0时，-x²+7x-6=0，解得x₁=1，x₂=6，
所以当x＜1或x＞6时，y＞0；
（3）设P（t，0）
当x=0时，y=-x²+7x-6=-6，则D（0，-6），
所以AD=$\sqrt{{1}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
当DP=DA时，点P与点A关于x轴对称，此时P点坐标为（-1，0）；
当AP=AD时，即AP=$\sqrt{37}$，则此时P点坐标为（$\sqrt{37}$+1，0）或（-$\sqrt{37}$+1，0）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．