Question

4．如图，高36米的楼房AB正对着斜坡CD，点E在斜坡CD的中点处，已知斜坡的坡角（即∠DCG）为30°，AB⊥BC．
（1）若点A、B、C、D、E、G在同一个平面内，从点E处测得楼顶A的仰角α为37°，楼底B的俯角β为24°，问点A、E之间的距离AE长多少米？（精确到十分位）
（2）现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比为$\sqrt{3}$：1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建多少米？
（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91）

Answer 1

分析 （1）延长FE交AB于M，设ME=x，根据直角三角形函数得出AM=tanα•x，BM=tanβ•x，然后根据tanα•x+tanβ•x=36，即可求得EM的长，然后通过余弦函数即可求得AE；
（2）根据BM=NG=DN，得到DN的长，然后解直角三角形函数求得EN和FN，进而求得EF和DF的长，然后根据题意列出方程，解方程即可求得．

解答 解：（1）延长FE交AB于M，
∵EF∥BC，
∴MN⊥AB，MN⊥DG，
设ME=x，
∴AM=tanα•x，BM=tanβ•x，
∵AB=36，
∴tanα•x+tanβ•x=36，
∴tan37°x+tan24°x=36，
0.75x+0.45x=36，
解得x=30，
∴AE=$\frac{EM}{cos37°}$=$\frac{30}{0.80}$≈37.5（米）；
（2）延长EF交DG于N，
∵GN=BM=tan24°•30=13.5，DE=CE，EF∥BC，
∴DN=GN=13.5（米），
∵∠DCG=30°，
∴∠DEN=30°，
∴EN=DN•cot30°=13.5×$\sqrt{3}$，
∵$\frac{DN}{FN}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$，
∴∠DFN=60°，
∴∠EDF=30°，FN=DN•cot60°=13.5×$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DF=EF=EN-FN=13.5×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴EF+DF=27×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=18$\sqrt{3}$，
设施工队原计划平均每天修建y米，
根据题意得，$\frac{18\sqrt{3}}{y}$=$\frac{18\sqrt{3}}{1.5t}$+2，
解得y=3$\sqrt{3}$（米），
经检验，是方程的根，
答：施工队原计划平均每天修建3$\sqrt{3}$米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解题的关键是构造直角三角形．