Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．

（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于 ；

（2）点E是二次函数（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OEEA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）OEAE的最大值为4，抛物线的表达式为；（3）．

【解析】试题分析：（1）当t=12时，B（4，12），将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，于是可得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标，从而可求得点D到x轴的距离；

（2）令y=0得到x2+bx=0，从而可求得方程的解为x=0或x=﹣b，然后列出OEAE关于b的函数关系式，利用配方法可求得b的OEAE的最大值，以及此时b的值，于是可得到抛物线的解析式；

（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．依据全等三角形的性质可得到MN=CO=t，DG=FH=2，然后由点D的坐标可得到点N的坐标，最后将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值．

试题解析：解：（1）当t=12时，B（4，12）．

将点B的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，∴抛物线的解析式，∴，∴D（， ），∴顶点D与x轴的距离为．故答案为： ．

（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b，∵OA=4，∴AE=4﹣（﹣b）=4+b，∴OEAE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4，∴OEAE的最大值为4，此时b的值为﹣2，∴抛物线的表达式为．

（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．

∵△DMN≌△FOC，∴MN=CO=t，DG=FH=2．∵D（﹣，﹣），∴N（﹣，﹣ +2），即（， ）．把点N和坐标代入抛物线的解析式得： =（）2+b（），解得：t=±．∵t＞0，∴t=．