Question

如图，将菱形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=2，CC₁=x，△ACD与△A₁C₁D₁重叠部分的面积为s，则下列结论：

①△A₁AD₁≌△CC₁B；

②当四边形ABC₁D₁是矩形时，x=；

③当x=2时，△BDD₁为等腰直角三角形；

④（0＜x＜）。

其中正确的是　  　（填序号）。

Answer 1

①②③④。

【考点】平移的性质，菱形的性质，全等三角形的判定，矩形的的判定，等腰直角三角形的判定，含30度直角三角形的性质。

【分析】①∵四边形ABCD为菱形，∴BC=AD，∠ACB =∠DAC。∴∠DAC=∠ACB。

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁。

在△A₁AD₁与△CC₁B中，∵AA₁=CC₁，∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，

∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS）。

故①正确。

②如图1，过点B作BH⊥AC于点H，

∵四边形ABC₁D₁是矩形，∠AC₁D₁=∠ACD=∠ACB=30°，

∴∠AC₁B=60°。

∴∠C₁BC=∠C₁CB=30°。∴BC₁= CC₁=x。

∵AB=BC=2，∴BH=1，HC=。

∴HC₁=。

∵HC=HC₁+ CC₁，∴，解得。

故②正确。

③如图2，根据平移的性质，DD₁=CC₁=2，∠BDD₁=90°，

  根据菱形的性质和∠ACB=30°，可得DB=AB=2，

  ∴DD₁= DB=2。

∴△BDD₁为等腰直角三角形。

故③正确。