Question

4．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是20cm²，则AC的长是2$\sqrt{10}$cm．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，得出四边形AECF为矩形，由矩形性质得出∠EAF为直角，证出∠DAF=∠BAE，由AAS证明△ABE≌△ADF，得出AE=AF，证出四边形AECF为正方形，△ABE面积与△AFD面积相等，得出四边形ABCD面积等于正方形AECF面积，求出正方形边长AE的长，再运用等腰直角三角形的性质即可求出AC的长．

解答 解：作AE⊥BC于E，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，
则∠AEC=∠F=∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠F=90°}&{\;}\\{∠BAE=∠DAF}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF，S_△ABE=S_△ADF，
∴四边形AECF是正方形，
∴S_{四边形ABCD}=S_{正方形AECF}=20cm²，
∴AE=2$\sqrt{5}$cm，
∵△AEC为等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AE=2$\sqrt{10}$cm．
故答案为：2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，通过作正方形构造三角形全等证出正方形是解决问题的关键．