【题目】如图1,在平面直角坐标系x0y中,直线与y轴交于点A,与x轴交于点B,抛物线:过A、B两点,与x轴的另一交点为点C.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)如图2,作抛物线,使得抛物线与恰好关于原点对称,与在第一象限内交于点D,连接AD,CD.
①请直接写出抛物线的解析式和点D的坐标;
②求四边形AOCD的面积;
(3)已知抛物线,的顶点为M,设P为抛物线对称轴上一点,Q为直线上一点,是否存在以点M,Q,P,B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线C1的解析式为:y=-x2+x+4,C(8,0);
(2)①抛物线C2的解析式为y=x2+x-4,D(4,6);②S四边形AOCD=32;
(3)存在以点M,Q,P,B为顶点的四边形为平行四边形,点P的坐标为P(3,)或P(3,).
【解析】
(1)先求出直线y=2x+4与x轴、y轴交点坐标,待定系数法求抛物线解析式即可;
(2)①根据两抛物线关于原点对称,将抛物线C1的解析式中的x和y分别换成-x和-y,整理后即为抛物线C2的解析式;再通过解方程组求点D的坐标;
②求四边形AOCD的面积,过点D作DE⊥x轴于E,将四边形AOCD分割成一个梯形和一个直角三角形即可求得;
(3)过B作BN∥y轴,过M作MN∥x轴与BN交于点N,分两种情形分别求点P的坐标:①BM为平行四边形的边,②BM为平行四边形的对角线.
(1)∵直线y=2x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,
∴A(0,4),B(-2,0),
∵抛物线C1:过A,B两点,
∴c=4,0=-×(-2)2-2b+4,解得b=,
∴抛物线C1的解析式为:y=-x2+x+4,
令y=0,得-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=8,
∴C(8,0);
(2)①∵抛物线C2与C1恰好关于原点对称,
∴抛物线C2的解析式为y=x2+x-4,
解方程组,
得:,,
∵点D在第一象限内,∴D(4,6);
②如图,
过D作DE⊥x轴于E,则OE=4,CE=OC-OE=8-4=4,DE=6,
S四边形AOCD=S梯形AOED+S△CDE=(OA+DE)×OE+DE×CE=(4+6)×4+×6×4=32;
(3)存在.
如图:
过B作BN∥y轴,过M作MN∥x轴与BN交于点N,
∵抛物线C2的解析式为y=x2+x-4= (x+3)2-,
∴顶点M(-3,-),
∴BN=,MN=1,
抛物线C1的对称轴为:直线x=3,设P(3,m);
①以点M,Q,P,B为顶点的四边形为平行四边形,若MQ为对角线,则BM∥PQ,BM=PQ,
∴Q(4,m+),
又∵Q为直线y=2x+4上一点,
∴m+=2×4+4,解得:m=,
∴P(3,);
②若BM为对角线,设P(3,m),Q(n,2n+4),
∵BM中点坐标为(-,/span>),
∴,解得,
∴P(3,),
③若BQ为对角线,∵BM∥PQ,BM=PQ,
∴Q(2,8),设P(3,m),
则m-=8+0,解得:m=,
∴P(3,),
综上所述,存在以点M,Q,P,B为顶点的四边形为平行四边形,点P的坐标为P(3,)或P(3,).
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【题目】如图,已知l1∥l2,射线MN分别和直线l1,l2交于A、B,射线ME分别和直线l1,l2交于C、D,点P在A、B间运动(P与A、B两点不重合),设∠PDB=α,∠PCA=β,∠CPD=γ.
(1)试探索α,β,γ之间有何数量关系?说明理由.
(2)如果BD=3,AB=9,AC=6,并且AC垂直于MN,那么点P运动到什么位置时,△ACP≌△BPD说明理由.
(3)在(2)的条件下,当△ACP≌△BPD时,PC与PD之间有何位置关系,说明理由.
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【题目】如图,在中,,,,点在边上,,射线交于点,点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动,过点作,交射线于点,以、为邻边作,设点的运动时间为.
(1)线段的长为 (用含的代数式表示)
(2)求点落在上时的值;
(3)设与的重叠部分图形的面积为(平方单位),当时,求与之间的函数关系式.
(4)当时,直接写出为等腰三角形时的值.
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【题目】如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH,∠CAD=20°,则∠DHO的度数是( )
A.20°B.25°C.30°D.40°
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【题目】将二次函数y=x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,若直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点,则b的值为( )
A. ﹣或﹣12B. ﹣或2C. ﹣12或2D. ﹣或﹣12
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【题目】小明根据学习函数的经验,对函数y=x+的图象与性质进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)函数y=x+的自变量x的取值范围是_____.
(2)下表列出了y与x的几组对应值,请写出m,n的值:m=_____,n=_____;
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | ﹣ | ﹣ | 1 | 2 | 3 | 4 | … | ||
y | … | ﹣ | ﹣ | ﹣2 | ﹣ | ﹣ | m | 2 | n | … |
(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)结合函数的图象,请完成:
①当y=﹣时,x=_____.
②写出该函数的一条性质_____.
③若方程x+=t有两个不相等的实数根,则t的取值范围是_____.
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【题目】如图,正方形ABCD的面积为8cm2,且其对角线相交于点O,点O是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积为_____cm2.
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【题目】如图①,中,,是的中点,过点作于点;过点作,交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)某数学兴趣小组解答(1)后发现,在图中只需将剪下来拼到处,就可得到一个与等面积的矩形继续讨论后又发现,任意三角形也可以剪拼成一个等面积的矩形,请你在图②中画出一种剪拼示意图,并简要说明作法(不需要证明)
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